Encontre e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los. Para isso vamos usar gradiente para achar onde as derivadas parciais se anulam e depois a matriz Hessiana para distinguir mínimos, máximos ou pontos de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
Para achar o ponto crítico, igualamos ambas a zero e resolvemos o sistema linear:
Da primeira, . Logo o único ponto crítico é .
Passo 3
Montamos a matriz Hessiana de :
Calculamos o determinante e verificamos fxx:
det H =2cdot2-1cdot1=3>0,
e fxx=2>0. Como det H>0 e fxx>0, a matriz é definida positiva, o que implica que (2,2) é um mínimo local (na verdade global, pois f é quadrática convexa).
Resposta
O único ponto crítico é (2,2), que corresponde a um mínimo local de f.