Encontre e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=x^2+x y+y^2-6 x-6 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^2+x y+y^2-6x-6y
e classificá-los. Para isso vamos usar gradiente para achar onde as derivadas parciais se anulam e depois a matriz Hessiana para distinguir mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
Para achar o ponto crítico, igualamos ambas a zero e resolvemos o sistema linear:
Da primeira, . Logo o único ponto crítico é .

Passo 3

Montamos a matriz Hessiana de f:
H= fxx & fxy fyx & fyy = 2 & 1 1 & 2
Calculamos o determinante e verificamos fxx:
det H =2cdot2-1cdot1=3>0,
e fxx=2>0. Como det H>0 e fxx>0, a matriz é definida positiva, o que implica que (2,2) é um mínimo local (na verdade global, pois f é quadrática convexa).

Resposta

O único ponto crítico é (2,2), que corresponde a um mínimo local de f.

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