Calcule a integral
integral 2 x+1x(x-2)(x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral 2x+1x(x-2)(x+3),dx
O método mais direto é usar decomposição em frações parciais e depois integrar cada termo, lembrando que
integral 1x-a,dx = lnl|x-ar| + C

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
2x+1x(x-2)(x+3) = Ax + Bx-2 + Cx+3
Multiplicando por x(x-2)(x+3), obtemos
2x+1 = A(x-2)(x+3) ;+; B,x(x+3) ;+; C,x(x-2)

Passo 3

Expandindo e agrupando coeficientes de potências de x:
2x+1 = (A+B+C)x^2 ;+; (A+3B-2C)x ;+;(-6A)
Comparando com 0cdot x^2 + 2x + 1, vem o sistema
A + B + C = 0, A + 3B - 2C = 2, -6A = 1 ;Rightarrow; A = -tfrac16
Substituindo A nas duas primeiras equações e resolvendo, achamos
B = 12, C = -13

Passo 4

Reescrevendo a integral com esses valores:
integral 2x+1x(x-2)(x+3),dx = integral l(-tfrac16,1x + tfrac12,1x-2 - tfrac13,1x+3r),dx
Integrando termo a termo e usando integral dxx-a=ln|x-a|+C, resulta
-16ln|x| ;+;12ln|x-2| ;-;13ln|x+3| + C

Resposta

-16lnl|xr| ;+;12lnl|x-2r| ;-;13lnl|x+3r| + C

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