Encontre e classifique os pontos críticos das seguintes funções:
(e) f(x, y)=\frac{2 y^{3}}{x^{2}+y^{2}} se (x, y) \neq(0,0) e f(0,0)=0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
O que é pedido: encontrar os pontos críticos de f e classificá‑los (máximo local, mínimo local, ponto de sela, ou não é ponto crítico).
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula explícita para f em toda a reta exceto em (0,0).
  • O valor definido em (0,0) é f(0,0)=0.]

Passo 2

Vamos lembrar o que é ponto crítico: para funções de duas variáveis, um ponto é crítico se o gradiente existe e é o vetor nulo ali, ou se alguma das derivadas parciais não existe. Aqui, primeiro calculamos as derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0). É conveniente usar r^{2}=x^{2}+y^{2} para simplificar notação. Assim, para (x,y)\neq(0,0) temos
f(x,y)=\frac{2y^{3}}{r^{2}}.
Vou aplicar a regra do quociente: se f=\dfrac{N}{D} com N,N_x,N_y e D,D_x,D_y conhecidos, então
f_x=\frac{N_x D - N D_x}{D^{2}},\qquad f_y=\frac{N_y D - N D_y}{D^{2}}.
Aqui N=2y^{3} e D=r^{2}=x^{2}+y^{2}. Calculando as derivadas necessárias:
  • N_x=0 (porque N não depende de x),
  • N_y=6y^{2},
  • D_x=2x,
  • D_y=2y.
Agora aplico a fórmula.

Passo 3

Cálculo explícito das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0):
Para f_x:
f_x=\frac{0\cdot r^{2} - (2y^{3})(2x)}{(r^{2})^{2}}=\frac{-4xy^{3}}{r^{4}}.
Para f_y:
f_y=\frac{6y^{2}\,r^{2} - (2y^{3})(2y)}{r^{4}} =\frac{6y^{2}r^{2}-4y^{4}}{r^{4}} =\frac{2y^{2}\bigl(3r^{2}-2y^{2}\bigr)}{r^{4}}.
Substituindo r^{2}=x^{2}+y^{2} em 3r^{2}-2y^{2} 3x^{2}+y^{2}. Assim podemos escrever
f_y=\frac{2y^{2}\bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)}{r^{4}}.

Passo 4

Agora achamos os pontos onde o gradiente se anula para (x,y)\neq(0,0). Queremos resolver o sistema
f_x=0,\qquad f_y=0,
ou seja
\frac{-4xy^{3}}{r^{4}}=0,\qquad \frac{2y^{2}\bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)}{r^{4}}=0.
Como r^{4}>0 para (x,y)\neq(0,0), basta anular os numeradores:
Do primeiro: -4xy^{3}=0 x=0 ou y=0.
Do segundo: 2y^{2}(3x^{2}+y^{2})=0 y=0 ou 3x^{2}+y^{2}=0.
A equação 3x^{2}+y^{2}=0 só tem solução real quando x=0 e y=0, mas isso é exatamente o ponto excluído nesta etapa (ou seja, não ocorre para (x,y)\neq(0,0)). Portanto a única possibilidade compatível para (x,y)\neq(0,0) é
y=0.
Se y=0 então f_x=0 e f_y=0. Conclusão provisória: todos os pontos com y=0 e x\neq0 são pontos onde o gradiente se anula (ou seja, são pontos críticos no conjunto (x,y)\neq(0,0)).

Passo 5

Tratar o ponto (0,0) separadamente. Para saber se (0,0) é ponto crítico precisamos das derivadas parciais em (0,0) (as quais podemos obter pelas definições como limite).
Cálculo da derivada parcial em x no ponto (0,0):
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Mas para qualquer h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{2\cdot0^{3}}{h^{2}+0}=0. Logo o quociente é 0/h=0 e o limite é 0. Portanto
f_x(0,0)=0.
Cálculo da derivada parcial em y no ponto (0,0):
f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Para h\neq0 temos f(0,h)=\dfrac{2h^{3}}{0+h^{2}}=2h. Então o quociente é (2h)/h=2 e o limite quando h\to0 é 2. Assim
f_y(0,0)=2.
Portanto o gradiente em (0,0) é \nabla f(0,0)=(0,2), que é diferente do vetor nulo. Conclusão: (0,0) não é ponto crítico (é um ponto regular, pois o gradiente ali é não‑nulo).

Passo 6

Classificação dos pontos críticos encontrados: para x_{0}\neq0 os pontos (x_{0},0) são pontos críticos; falta dizer se são máximos, mínimos ou sela. Para classificar, é útil estudar o comportamento de f ao redor de (x_{0},0). Fixe x_{0}\neq0 e considere deslocamentos verticais pequenos: pontos (x_{0},t) com t pequeno. Para t\neq0
f(x_{0},t)=\frac{2t^{3}}{x_{0}^{2}+t^{2}}.
Quando t é pequeno em comparação com |x_{0}|, o denominador fica próximo de x_{0}^{2} e podemos ver o sinal dominante:
f(x_{0},t)\approx\frac{2t^{3}}{x_{0}^{2}}.
Isto significa que para t>0 pequeno temos f(x_{0},t)>0 e para t<0 pequeno temos f(x_{0},t)<0. Ou seja, arbitrariamente perto do ponto (x_{0},0) existem valores de f positivos e negativos. Logo não pode ser nem máximo local nem mínimo local: existe sempre uma direção em que f aumenta e outra em que f diminui. Essa é a definição de ponto de sela.
Um exemplo numérico rápido para intuir: escolha x_{0}=1. Então f(1,0.1)\approx\dfrac{2(0{,}1)^{3}}{1+0{,}01}\approx 0{,}00198>0 e f(1,-0.1)\approx -0{,}00198<0.
Portanto cada ponto (x_{0},0) com x_{0}\neq0 é ponto crítico do tipo sela.

Passo 7

Resumo final do que achamos:
  • Os pontos críticos de f são exatamente os pontos (x,0) com x\neq0.
  • Cada um desses pontos é um ponto de sela.
  • O ponto (0,0) não é ponto crítico pois \nabla f(0,0)=(0,2)\neq(0,0).

Resposta

Os pontos críticos são todos (x,0) com x\neq0.
Cada ponto (x,0) com x\neq0 é um ponto de sela.
O ponto (0,0) não é ponto crítico.

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