Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
(e) z=x^{2}+2 x y+3 y^{3}+4 x+6 y

Passo 1

O enunciado fornece a função
z=f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{3}+4x+6y
e pede duas coisas:
  • localizar e classificar os pontos críticos de f;
  • determinar se f possui extremo absoluto em seu domínio.
Informações importantes dadas:
  • A função é um polinômio em x e y, logo está definida para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Ou seja, o domínio é \mathbb{R}^{2}.
  • Um “ponto crítico” é um ponto onde o gradiente é nulo ou onde as derivadas parciais não existem (aqui as derivadas existem em \mathbb{R}^2).

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais (componentes do gradiente). Lembrete rápido: a derivada parcial em relação a x trata y como constante, e vice-versa.
Calcule f_x (derivada parcial em relação a x):
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+2xy+3y^{3}+4x+6y\big) = 2x + 2y + 4.
Calcule f_y (derivada parcial em relação a y):
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+2xy+3y^{3}+4x+6y\big) = 2x + 9y^{2} + 6.
Explicação didática: o gradiente \nabla f(x,y) = (f_x,f_y). Pontos críticos só podem ocorrer onde \nabla f(x,y)=(0,0) ou onde alguma derivada parcial não exista. Aqui as derivadas existem em todo lugar, então procuramos resolver o sistema
\begin{cases} 2x+2y+4=0,\\[4pt] 2x+9y^{2}+6=0. \end{cases}]

Passo 3

Vamos resolver o sistema. Da primeira equação:
2x+2y+4=0 \quad\Rightarrow\quad x+y+2=0 \quad\Rightarrow\quad x = -y-2.
Substituindo essa expressão de x na segunda equação:
2(-y-2) + 9y^{2} + 6 = 0.
Desenvolvendo:
-2y -4 + 9y^{2} + 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad 9y^{2} -2y +2 = 0.
Agora analisamos essa quadrática em y. O discriminante é
\Delta = (-2)^{2} - 4\cdot 9 \cdot 2 = 4 - 72 = -68.
Como \Delta<0, a equação 9y^{2}-2y+2=0 não tem raízes reais. Portanto não existe y\in\mathbb{R} que satisfaça o sistema; consequentemente não existem pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} com \nabla f(x,y)=(0,0).
Conclusão intermediária: a função não possui pontos críticos interiores (nenhum ponto onde as derivadas parciais se anulam). Também não há pontos onde as derivadas parciais deixem de existir (são polinomiais), então não há pontos críticos de nenhum tipo.

Passo 4

Breve aula sobre classificação (para o caso de haver pontos críticos): se houvesse um ponto crítico (x_0,y_0) usa-se as segundas derivadas
f_{xx},\qquad f_{yy},\qquad f_{xy}
e o discriminante da Hessiana
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local;
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local;
  • Se D<0 então ponto de sela;
  • Se D=0 teste inconclusivo.
Aqui não há pontos críticos, então esse teste não chega a ser aplicado para classificar pontos.

Passo 5

Agora determinamos se f tem extremo absoluto no domínio \mathbb{R}^{2}. Estratégia didática: verificar comportamento para y\to+\infty e y\to-\infty. Note que o termo de maior grau em y é 3y^{3}, que domina para grandes |y|.
Escolha um caminho simples, por exemplo x=0. Então
f(0,y)=3y^{3}+6y.
Quando y\to+\infty tem-se 3y^{3}+6y\to +\infty. Quando y\to -\infty tem-se 3y^{3}+6y\to -\infty (porque y^{3} é negativo e domina). Logo f é não limitada superiormente e não limitada inferiormente: atinge valores arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente grandes negativos ao longo do domínio.
Conclusão: não há máximo absoluto nem mínimo absoluto em \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Pontos críticos: não existem pontos críticos em \mathbb{R}^{2}.
Extremo absoluto: não existe máximo absoluto nem mínimo absoluto (a função é não limitada acima e abaixo).

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