Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas:
- localizar e classificar os pontos críticos de
; - determinar se
possui extremo absoluto em seu domínio.
Informações importantes dadas:
- A função é um polinômio em
e , logo está definida para todo par . Ou seja, o domínio é . - Um “ponto crítico” é um ponto onde o gradiente é nulo ou onde as derivadas parciais não existem (aqui as derivadas existem em
).
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais (componentes do gradiente). Lembrete rápido: a derivada parcial em relação a
trata
como constante, e vice-versa.
Calcule
(derivada parcial em relação a
):
Calcule
(derivada parcial em relação a
):
Explicação didática: o gradiente
. Pontos críticos só podem ocorrer onde
ou onde alguma derivada parcial não exista. Aqui as derivadas existem em todo lugar, então procuramos resolver o sistema
Passo 3
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação:
Substituindo essa expressão de
na segunda equação:
Desenvolvendo:
Agora analisamos essa quadrática em
. O discriminante é
Como
, a equação
não tem raízes reais. Portanto não existe
que satisfaça o sistema; consequentemente não existem pontos
com
.
Conclusão intermediária: a função não possui pontos críticos interiores (nenhum ponto onde as derivadas parciais se anulam). Também não há pontos onde as derivadas parciais deixem de existir (são polinomiais), então não há pontos críticos de nenhum tipo.
Passo 4
Breve aula sobre classificação (para o caso de haver pontos críticos): se houvesse um ponto crítico
usa-se as segundas derivadas
e o discriminante da Hessiana
- Se
e então mínimo local; - Se
e então máximo local; - Se
então ponto de sela; - Se
teste inconclusivo.
Aqui não há pontos críticos, então esse teste não chega a ser aplicado para classificar pontos.
Passo 5
Agora determinamos se
tem extremo absoluto no domínio
. Estratégia didática: verificar comportamento para
e
. Note que o termo de maior grau em
é
, que domina para grandes
.
Escolha um caminho simples, por exemplo
. Então
Quando
tem-se
. Quando
tem-se
(porque
é negativo e domina). Logo
é não limitada superiormente e não limitada inferiormente: atinge valores arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente grandes negativos ao longo do domínio.
Conclusão: não há máximo absoluto nem mínimo absoluto em
.
Resposta
Pontos críticos: não existem pontos críticos em
.
Extremo absoluto: não existe máximo absoluto nem mínimo absoluto (a função é não limitada acima e abaixo).