Encontre e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Função dada:
. - Pergunta: encontrar todos os pontos críticos de
e classificá‑los (mínimo local, máximo local ou ponto de sela). - Informação implícita: variáveis reais
.
Nenhum outro dado foi fornecido.
Passo 2
Conceito que vamos usar primeiro (explicação didática): ponto crítico é um ponto onde o gradiente de
é o vetor nulo. O gradiente reúne as derivadas parciais de
:
Para encontrar pontos críticos resolvemos o sistema
. Agora calculamos as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (passo a passo):
- Derivada parcial em relação a
: derivamos termo a termo, tratando como constante.
Explicação: derivada de
é
; de
é zero (pois
é constante aqui); de
em relação a
é
.
- Derivada parcial em relação a
:
Explicação: análogo ao caso anterior.
Passo 4
Formar e resolver o sistema
Da primeira equação isolamos (y]:
Substituímos essa expressão na segunda equação:
Agora simplificamos passo a passo.]
Substituímos essa expressão na segunda equação:
Agora simplificamos passo a passo.]
Passo 5
Simplificar a equação obtida:
Primeiro calcular . Então
Primeiro calcular
Colocamos em evidência
:
Logo as soluções possíveis são
ou
.
Passo 6
Resolver os casos:
- Caso 1:
. Então . Obtemos o ponto crítico . - Caso 2:
. Isolando:
Tomando a raiz cúbica (note que
e
):
Então
.
Conclusão: os pontos críticos são e
.)
Conclusão: os pontos críticos são
Passo 7
Como classificar? Usamos a matriz Hessiana e o teste das derivadas de segunda ordem. Explicação didática:
- A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
- O teste: calcule
. - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.]
- Se
Passo 8
Calcular as segundas derivadas:
Assim
Passo 9
Avaliar o teste em cada ponto crítico.
- Para
:
Como
, pelo teste temos um ponto de sela em
.
- Para
:
Calcular. Então
Além disso
Como
e
, o ponto
é um mínimo local.