Encontre e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções:
f(x, y)=x^{3}+y^{3}-8 x y

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Função dada: f(x,y)=x^{3}+y^{3}-8xy.
  • Pergunta: encontrar todos os pontos críticos de f e classificá‑los (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
  • Informação implícita: variáveis reais x,y\in\mathbb{R}.
    Nenhum outro dado foi fornecido.

Passo 2

Conceito que vamos usar primeiro (explicação didática): ponto crítico é um ponto onde o gradiente de f é o vetor nulo. O gradiente reúne as derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Para encontrar pontos críticos resolvemos o sistema \nabla f(x,y)= (0,0). Agora calculamos as derivadas parciais de f.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (passo a passo):
  • Derivada parcial em relação a x: derivamos termo a termo, tratando y como constante.
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-8y.
Explicação: derivada de x^{3} é 3x^{2}; de y^{3} é zero (pois y é constante aqui); de -8xy em relação a x é -8y.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-8x.
Explicação: análogo ao caso anterior.

Passo 4

Formar e resolver o sistema \nabla f=(0,0)\): \[\begin{cases} 3x^{2}-8y=0,\\[4pt] 3y^{2}-8x=0. \end{cases}
Da primeira equação isolamos (y]:
y=\frac{3}{8}x^{2}.
Substituímos essa expressão na segunda equação:
3\left(\frac{3}{8}x^{2}\right)^{2}-8x=0.
Agora simplificamos passo a passo.]

Passo 5

Simplificar a equação obtida:
Primeiro calcular \left(\dfrac{3}{8}x^{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{64}x^{4}. Então
3\cdot \frac{9}{64}x^{4}-8x=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{27}{64}x^{4}-8x=0.
Colocamos em evidência x:
x\left(\frac{27}{64}x^{3}-8\right)=0.
Logo as soluções possíveis são x=0 ou \dfrac{27}{64}x^{3}-8=0.

Passo 6

Resolver os casos:
  • Caso 1: x=0. Então y=\dfrac{3}{8}x^{2}=0. Obtemos o ponto crítico (0,0).
  • Caso 2: \dfrac{27}{64}x^{3}-8=0. Isolando:
\frac{27}{64}x^{3}=8 \quad\Rightarrow\quad x^{3}=\frac{8\cdot64}{27}=\frac{512}{27}.
Tomando a raiz cúbica (note que 512=8^{3} e 27=3^{3}):
x=\frac{8}{3}.
Então y=\dfrac{3}{8}x^{2}=\dfrac{3}{8}\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\dfrac{3}{8}\cdot\frac{64}{9}=\frac{192}{72}=\frac{8}{3}. \] Obtemos o ponto crítico \(\left(\dfrac{8}{3},\dfrac{8}{3}\right).
Conclusão: os pontos críticos são (0,0) e \left(\dfrac{8}{3},\dfrac{8}{3}\right).)

Passo 7

Como classificar? Usamos a matriz Hessiana e o teste das derivadas de segunda ordem. Explicação didática:
  • A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
  • O teste: calcule D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}.
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.]

Passo 8

Calcular as segundas derivadas:
f_{xx}=6x,\qquad f_{yy}=6y,\qquad f_{xy}=f_{yx}=-8.
Assim
D(x,y)=36xy-64.

Passo 9

Avaliar o teste em cada ponto crítico.
  • Para (0,0):
D(0,0)=36\cdot 0\cdot 0-64=-64<0.
Como D<0, pelo teste temos um ponto de sela em (0,0).
  • Para \left(\dfrac{8}{3},\dfrac{8}{3}\right):
    Calcular xy=\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{8}{3}=\dfrac{64}{9}. Então
D\!\left(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right)=36\cdot\frac{64}{9}-64=4\cdot64-64=256-64=192>0.
Além disso
f_{xx}\!\left(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right)=6\cdot\frac{8}{3}=16>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, o ponto \left(\dfrac{8}{3},\dfrac{8}{3}\right) é um mínimo local.

Resposta

(0,0) — ponto de sela
\left(\dfrac{8}{3},\dfrac{8}{3}\right) — mínimo local

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