Encontre e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar e classificar todos os pontos críticos da função
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é definida em todo o plano
. - A tarefa tem duas partes para cada ponto crítico: (i) encontrar as coordenadas onde o gradiente é nulo (ou não existe) e (ii) classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Estratégia para resolver (passo a passo didático):
- Calcular as derivadas parciais primeiras
e . Explicação rápida do que isso significa: a derivada parcial mede a taxa de variação de quando apenas varia e fica fixo; similar para . - Encontrar os pontos
tais que (ou onde derivadas não existem). Como é polinomial, as derivadas existem em todo lugar. - Para classificar cada ponto crítico, calcular as derivadas segundas e usar o teste de segunda derivada (determinante da Hessiana). Lembrete do teste: se
e então mínimo local; se e então máximo local; se então ponto de sela; se inconclusivo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras. Vou aplicar a regra do produto: se
com
, então
Agora computar termo a termo:
Portanto
Simplificando (expandindo as parcelas) obtemos
Passo 4
Agora
. Pelo mesmo raciocínio de produto:
Logo
Simplificando,
Passo 5
Encontrar pontos críticos resolvendo o sistema
Uma técnica eficiente: somar as duas equações para eliminar o termo em
:
Logo
Passo 6
Tratar os dois casos resultantes.
Caso 1:
. Substituir em uma das equações (uso a primeira):
Logo
Como
, obtemos os pontos críticos
Caso 2:
. Substituir na primeira equação:
Logo
Como
, obtemos
Assim existem exatamente quatro pontos críticos.
Passo 7
Para classificar, calcular as derivadas segundas (componentes da Hessiana). As derivadas segundas são:
O determinante da Hessiana é
Avaliaremos
e
em cada ponto crítico e aplicaremos o teste de segunda derivada explicado anteriormente.
Passo 8
Avaliar em
. Seja
.
Então
Como
, o ponto
é ponto de sela.
Avaliar em
. Para
as fórmulas dão o mesmo produto:
Portanto
também é ponto de sela.
Avaliar em
. Seja
e note que
.
Então
Como
e
, o ponto
é um mínimo local.
Avaliar em
. Aqui
:
Então
Como
e
, o ponto
é um máximo local.