Encontre e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções:
f(x, y)=(x-y)\left(x^{2}+y^{2}-12\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar e classificar todos os pontos críticos da função \,f(x,y)=(x-y)\bigl(x^{2}+y^{2}-12\bigr)\,.
Informações fornecidas:
  • A função é definida em todo o plano \mathbb{R}^{2}.
  • A tarefa tem duas partes para cada ponto crítico: (i) encontrar as coordenadas onde o gradiente é nulo (ou não existe) e (ii) classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Estratégia para resolver (passo a passo didático):
  1. Calcular as derivadas parciais primeiras \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Explicação rápida do que isso significa: a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo; similar para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  2. Encontrar os pontos (x,y) tais que \nabla f(x,y)=(0,0) (ou onde derivadas não existem). Como f é polinomial, as derivadas existem em todo lugar.
  3. Para classificar cada ponto crítico, calcular as derivadas segundas e usar o teste de segunda derivada (determinante da Hessiana). Lembrete do teste: se \,D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}>0 e f_{xx}>0 então mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local; se D<0 então ponto de sela; se D=0 inconclusivo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras. Vou aplicar a regra do produto: se f=(x-y)\cdot g(x,y) com g(x,y)=x^{2}+y^{2}-12, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x-y)\cdot g+(x-y)\cdot\frac{\partial g}{\partial x}.
Agora computar termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=1,\qquad \frac{\partial g}{\partial x}=2x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=(x^{2}+y^{2}-12)+ (x-y)\cdot 2x.
Simplificando (expandindo as parcelas) obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-2xy+y^{2}-12.

Passo 4

Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}. Pelo mesmo raciocínio de produto:
\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=-(x^{2}+y^{2}-12)+(x-y)\cdot 2y.
Simplificando,
\frac{\partial f}{\partial y}=-x^{2}+2xy-3y^{2}+12.

Passo 5

Encontrar pontos críticos resolvendo o sistema
\begin{cases} 3x^{2}-2xy+y^{2}-12=0,\\[4pt] -x^{2}+2xy-3y^{2}+12=0. \end{cases}
Uma técnica eficiente: somar as duas equações para eliminar o termo em xy:
(3x^{2}-2xy+y^{2}-12)+(-x^{2}+2xy-3y^{2}+12)=2x^{2}-2y^{2}=0.
Logo
x^{2}-y^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=y^{2}\quad\Rightarrow\quad y=\pm x.]

Passo 6

Tratar os dois casos resultantes.
Caso 1: y=x. Substituir em uma das equações (uso a primeira):
3x^{2}-2x\cdot x + x^{2}-12=0\quad\Rightarrow\quad 3x^{2}-2x^{2}+x^{2}-12=2x^{2}-12=0.
Logo \,2x^{2}=12\Rightarrow x^{2}=6\Rightarrow x=\pm\sqrt{6}. Como y=x, obtemos os pontos críticos
(\sqrt{6},\sqrt{6})\quad\text{e}\quad(-\sqrt{6},-\sqrt{6}).
Caso 2: y=-x. Substituir na primeira equação:
3x^{2}-2x(-x)+(-x)^{2}-12=3x^{2}+2x^{2}+x^{2}-12=6x^{2}-12=0.
Logo \,6x^{2}=12\Rightarrow x^{2}=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}. Como y=-x, obtemos
(\sqrt{2},-\sqrt{2})\quad\text{e}\quad(-\sqrt{2},\sqrt{2}).
Assim existem exatamente quatro pontos críticos.

Passo 7

Para classificar, calcular as derivadas segundas (componentes da Hessiana). As derivadas segundas são:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}-2xy+y^{2}-12\bigr)=6x-2y,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}-2xy+y^{2}-12\bigr)=-2x+2y,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x^{2}+2xy-3y^{2}+12\bigr)=2x-6y.
O determinante da Hessiana é
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.
Avaliaremos \,f_{xx},f_{xy},f_{yy} e D em cada ponto crítico e aplicaremos o teste de segunda derivada explicado anteriormente.

Passo 8

Avaliar em \,(\sqrt{6},\sqrt{6}). Seja a=\sqrt{6}.
f_{xx}=6a-2a=4a,\qquad f_{xy}=-2a+2a=0,\qquad f_{yy}=2a-6a=-4a.
Então
D=(4a)(-4a)-0^{2}=-16a^{2}=-16\cdot 6=-96<0.
Como D<0, o ponto (\sqrt{6},\sqrt{6}) é ponto de sela.
Avaliar em (-\sqrt{6},-\sqrt{6}). Para a=-\sqrt{6} as fórmulas dão o mesmo produto:
f_{xx}=4a,\\ f_{xy}=0,\\ f_{yy}=-4a \quad\Rightarrow\quad D=-16a^{2}=-96<0.
Portanto (-\sqrt{6},-\sqrt{6}) também é ponto de sela.
Avaliar em (\sqrt{2},-\sqrt{2}). Seja b=\sqrt{2} e note que y=-b.
f_{xx}=6b-2(-b)=8b,\qquad f_{xy}=-2b+2(-b)=-4b,\qquad f_{yy}=2b-6(-b)=8b.
Então
D=(8b)(8b)-(-4b)^{2}=64b^{2}-16b^{2}=48b^{2}=48\cdot 2=96>0.
Como D>0 e f_{xx}=8b>0, o ponto (\sqrt{2},-\sqrt{2}) é um mínimo local.
Avaliar em (-\sqrt{2},\sqrt{2}). Aqui x=-b,\\ y=b:
f_{xx}=6(-b)-2b=-8b,\qquad f_{xy}=-2(-b)+2b=4b,\qquad f_{yy}=2(-b)-6b=-8b.
Então
D=(-8b)(-8b)-(4b)^{2}=64b^{2}-16b^{2}=48b^{2}=96>0.
Como D>0 e f_{xx}=-8b<0, o ponto (-\sqrt{2},\sqrt{2}) é um máximo local.

Resposta

(\sqrt{6},\sqrt{6}) ponto de sela
(-\sqrt{6},-\sqrt{6}) ponto de sela
(\sqrt{2},-\sqrt{2}) mínimo local
(-\sqrt{2},\sqrt{2}) máximo local

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