Encontre e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções:
f(x, y)=4 x^{2}+y^{2}-8 x-2 y+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=4x^{2}+y^{2}-8x-2y+1
e pede para encontrar e classificar todos os pontos críticos dessa função.
Informações e perguntas extraídas do enunciado:
  • A função está definida em todo o plano \mathbb{R}^{2}.
  • Preciso achar todos os pontos (x,y) onde o gradiente de f é nulo (pontos críticos).
  • Para cada ponto crítico, preciso classificar se é mínimo local, máximo local ou ponto de sela (e, se aplicável, dizer se é mínimo global).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é um ponto crítico e como encontrá-lo:
  • Um ponto (x,y) é crítico quando as derivadas parciais primeiras se anulam, ou seja, quando o gradiente é o vetor nulo.
  • O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Agora calculamos as derivadas parciais de f termo a termo. Regras usadas:
  • Para x: \dfrac{d}{dx}(ax^{2})=2ax, \dfrac{d}{dx}(bx)=b, constantes desaparecem.
  • Para y análogamente.
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(4x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(y^{2}) - \frac{\partial}{\partial x}(8x) - \frac{\partial}{\partial x}(2y) + \frac{\partial}{\partial x}(1).
Termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(4x^{2})=8x,\quad \frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}(8x)=8,\quad \frac{\partial}{\partial x}(2y)=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}(1)=0.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=8x-8.
Cálculo de \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(4x^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) - \frac{\partial}{\partial y}(8x) - \frac{\partial}{\partial y}(2y) + \frac{\partial}{\partial y}(1).
Termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}(4x^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y,\quad \frac{\partial}{\partial y}(8x)=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(2y)=2,\quad \frac{\partial}{\partial y}(1)=0.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}=2y-2.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=(8x-8,\;2y-2).

Passo 3

Para encontrar pontos críticos resolvemos \nabla f(x,y)=(0,0), isto é:
8x-8=0,\qquad 2y-2=0.
Resolve-se cada equação:
8x-8=0 \Rightarrow 8x=8 \Rightarrow x=1,
2y-2=0 \Rightarrow 2y=2 \Rightarrow y=1.
Logo existe um único ponto crítico:
(x,y)=(1,1).
Vamos também calcular o valor da função nesse ponto (útil para classificação/globalidade):
f(1,1)=4\cdot 1^{2}+1^{2}-8\cdot 1-2\cdot 1+1=4+1-8-2+1=-4.

Passo 4

Agora vamos classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas:
  • A Hessiana H é a matriz das derivadas parciais segundas:
H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} \\[6pt] \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
  • Para classificar em duas variáveis, calculamos D=\det H no ponto crítico e verificamos \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (em geral chamado de f_{xx}):
Repare que as derivadas segundas são constantes aqui (porque f é quadrática). Calculamos:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}(8x-8)=8,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}(2y-2)=2,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=0.
Portanto a Hessiana é
H=\begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
O determinante é
D=\det H = 8\cdot 2 - 0^{2}=16.
Como D>0 e f_{xx}=8>0, pelo teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis, o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, como f é uma forma quadrática com matriz Hessiana definida positiva (autovalores positivos 8 e 2), o mínimo local é na verdade mínimo global — não há outros extremos.]

Passo 5

Para reforçar e dar uma visão bem concreta (útil na prova), podemos completar o quadrado na expressão de f e ver o vértice da parábola bidimensional:
f(x,y)=4x^{2}+y^{2}-8x-2y+1.
Agrupando por variáveis e completando o quadrado:
f(x,y)=4\bigl(x^{2}-2x\bigr)+\bigl(y^{2}-2y\bigr)+1
=4\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)+\bigl(y^{2}-2y+1\bigr)+1-4-1
=4(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-4.
Dessa forma fica claro que f(x,y)\ge -4 para todo (x,y), e a igualdade ocorre exatamente em (x,y)=(1,1). Isso confirma que (1,1) é o mínimo global e f(1,1)=-4.

Resposta

(1,1) — mínimo global, com f(1,1)=-4.

Exercícios relacionados