Para classificar em duas variáveis, calculamos D=\det H no ponto crítico e verificamos \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (em geral chamado de f_{xx}):
Repare que as derivadas segundas são constantes aqui (porque f é quadrática). Calculamos:
Como D>0 e f_{xx}=8>0, pelo teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis, o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, como f é uma forma quadrática com matriz Hessiana definida positiva (autovalores positivos 8 e 2), o mínimo local é na verdade mínimo global — não há outros extremos.]
Passo 5
Para reforçar e dar uma visão bem concreta (útil na prova), podemos completar o quadrado na expressão de f e ver o vértice da parábola bidimensional:
Dessa forma fica claro que f(x,y)\ge -4 para todo (x,y), e a igualdade ocorre exatamente em (x,y)=(1,1). Isso confirma que (1,1) é o mínimo global e f(1,1)=-4.