Encontre e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido:
- Encontrar todos os pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente é nulo).
- Classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida para todos os
. - A exponencial
é sempre positiva para qualquer . - Portanto,
para todos os pontos.
Passo 2
Conceito necessário (explicado devagar): ponto crítico e gradiente.
- Um ponto
é crítico se as derivadas parciais primeiras se anulam ali, isto é, se o gradiente . - O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
.
Agora calculamos as derivadas parciais de. Usei a regra da cadeia: se então e , com .
Cálculo:
Logo
Passo 3
Resolver as equações do gradiente igual a zero:
ou seja
Como
para todo
, esse fator não zera as equações. Portanto as equações reduzem-se a
Conclusão: o único ponto crítico é
.
Passo 4
Como classificar? Vou usar o teste da segunda derivada (para duas variáveis):
- Calcular a matriz Hessiana
com as segundas derivadas parciais:
- Definir o determinante discriminante
avaliado no ponto crítico.
Critério (resumo prático): - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
teste inconclusivo.]
Passo 5
Calcular as segundas derivadas (mostrando passo a passo, product + chain rule).
Partimos de .
Derivando em relação a :
Partimos de
Derivando em relação a
Partimos de
.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
A derivada mista (por exemplo
) a partir de
:
E
por continuidade.
Passo 6
Avaliar as segundas derivadas no ponto crítico
. Como
:
Calcular o discriminante:
Como
, pelo critério de segunda derivada
é um ponto de sela.
Passo intuitivo extra (visualização simples): expandindo em série de Taylor em torno de
,
Perto de
o termo dominante é
. Ao mover-se ao longo do eixo
(com
) a função aumenta (comportamento como
); ao mover-se ao longo do eixo
(com
) a função diminui (comportamento como
). Isso é a cara de um ponto de sela: sobe numa direção e desce em outra.
Passo 7
Resumo final: existe apenas um ponto crítico, em
, e ele é classificado como ponto de sela.