Encontre e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções:
f(x, y)=e^{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}.
O que é pedido:
  • Encontrar todos os pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente é nulo).
  • Classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para todos os x,y\in\mathbb{R}.
  • A exponencial e^{t} é sempre positiva para qualquer t.
  • Portanto, e^{x^{2}-y^{2}}>0 para todos os pontos.

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagar): ponto crítico e gradiente.
  • Um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais primeiras se anulam ali, isto é, se o gradiente \nabla f(x_0,y_0)=(0,0).
  • O gradiente é o vetor das derivadas parciais: \nabla f=(f_x,f_y).
    Agora calculamos as derivadas parciais de f. Usei a regra da cadeia: se f(x,y)=e^{u(x,y)} então f_x=e^{u}\,u_x e f_y=e^{u}\,u_y, com u(x,y)=x^2-y^2.
Cálculo:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^2-y^2)=2x,\qquad u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^2-y^2)=-2y.
Logo
f_x= e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}-y^{2}},
f_y= e^{x^{2}-y^{2}}\cdot (-2y) = -2y\,e^{x^{2}-y^{2}}.

Passo 3

Resolver as equações do gradiente igual a zero:
f_x=0\quad\text{e}\quad f_y=0
ou seja
2x\,e^{x^{2}-y^{2}}=0,\qquad -2y\,e^{x^{2}-y^{2}}=0.
Como e^{x^{2}-y^{2}}>0 para todo (x,y), esse fator não zera as equações. Portanto as equações reduzem-se a
2x=0\quad\Rightarrow\quad x=0,
-2y=0\quad\Rightarrow\quad y=0.
Conclusão: o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Como classificar? Vou usar o teste da segunda derivada (para duas variáveis):
  • Calcular a matriz Hessiana H com as segundas derivadas parciais:
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
  • Definir o determinante discriminante D = f_{xx}f_{yy}- (f_{xy})^{2} avaliado no ponto crítico.
    Critério (resumo prático):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 teste inconclusivo.]

Passo 5

Calcular as segundas derivadas (mostrando passo a passo, product + chain rule).
Partimos de f_x=2x e^{x^{2}-y^{2}}.
Derivando em relação a x:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\big(2x e^{x^{2}-y^{2}}\big) = 2 e^{x^{2}-y^{2}} + 2x\cdot e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x = \big(2 + 4x^{2}\big)e^{x^{2}-y^{2}}.
Partimos de f_y=-2y e^{x^{2}-y^{2}}.
Derivando em relação a y:
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\big(-2y e^{x^{2}-y^{2}}\big) = -2 e^{x^{2}-y^{2}} + (-2y)\cdot e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y) = \big(-2 + 4y^{2}\big)e^{x^{2}-y^{2}}.
A derivada mista (por exemplo f_{xy}) a partir de f_x:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x e^{x^{2}-y^{2}}\big) =2x\cdot e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y) = -4xy\,e^{x^{2}-y^{2}}.
E f_{yx}=f_{xy} por continuidade.

Passo 6

Avaliar as segundas derivadas no ponto crítico (0,0). Como e^{0}=1:
f_{xx}(0,0)=\big(2+4\cdot0^{2}\big)\cdot 1=2,
f_{yy}(0,0)=\big(-2+4\cdot0^{2}\big)\cdot 1=-2,
f_{xy}(0,0)=-4\cdot0\cdot0\cdot 1=0.
Calcular o discriminante:
D(0,0)=f_{xx}f_{yy}- (f_{xy})^{2}=2\cdot(-2)-0^{2}=-4.
Como D(0,0)=-4<0, pelo critério de segunda derivada (0,0) é um ponto de sela.
Passo intuitivo extra (visualização simples): expandindo em série de Taylor em torno de (0,0),
e^{x^{2}-y^{2}} = 1 + (x^{2}-y^{2}) + \frac{1}{2}(x^{2}-y^{2})^{2} + \cdots.
Perto de (0,0) o termo dominante é 1+(x^{2}-y^{2}). Ao mover-se ao longo do eixo x (com y=0) a função aumenta (comportamento como 1+x^{2}); ao mover-se ao longo do eixo y (com x=0) a função diminui (comportamento como 1-y^{2}). Isso é a cara de um ponto de sela: sobe numa direção e desce em outra.

Passo 7

Resumo final: existe apenas um ponto crítico, em (0,0), e ele é classificado como ponto de sela.

Resposta

(0,0) — ponto de sela

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