Encontre os mínimos e máximos absolutos de:
no triângulo com vértices em
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos (mínimos e máximos) da função
restrita ao triângulo com vértices em
,
e
.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio é o triângulo convexo cujos vértices são
, e . - O domínio é compacto (fechado e limitado), logo
atingirá máximos e mínimos absolutos nesse triângulo.
O que é pedido:
- Identificar os pontos do triângulo onde
assume seus valores mínimo e máximo absolutos e apresentar esses valores.
Passo 2
Procurar pontos críticos interiores (candidatos a mínimo/ máximo no interior) usando gradiente.
A condição para um ponto crítico de
é que o gradiente se anule:
Calcular as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Logo há um único ponto crítico no plano:
.
Vou explicar rapidamente o porquê: o gradiente aponta na direção de maior crescimento; onde ele é zero, a função pode ter mínimo, máximo ou ponto de sela. Aqui trata-se de uma função quadrática simples.
Passo 3
Identificar a natureza do ponto crítico e calcular o valor de
nele (aqui ensino uma técnica muito útil: completar quadrados para quadráticas).
Completar quadrados para entender a forma da função:
Agrupando e completando quadrado:
Substituindo:
Esta forma mostra que
é a função “distância ao ponto
ao quadrado”, deslocada por
. Especificamente,
Como soma de quadrados,
é convexa e atinge seu menor valor exatamente em
, com valor
Portanto, no plano,
é o mínimo global da função com valor
.
Passo 4
Verificar se o ponto crítico
pertence ao triângulo (só assim ele pode ser mínimo no domínio).
Descrição do triângulo: vértices
,
,
. Observações úteis:
- A aresta
é a reta com . - A aresta
é a reta com . - A aresta
é a reta passando por e . A equação dessa reta é
ou seja
Para
: temos
e, na reta
o valor superior é
Como
, o ponto
está entre as retas
e
para
. Logo
pertence ao interior do triângulo.
Conclusão:
é um ponto interior do domínio e, como é o mínimo global da função no plano, é também o mínimo absoluto no triângulo, com valor
.
Passo 5
Agora procurar máximos no domínio. Como o domínio é compacto e
é contínua, o máximo absoluto existe e ocorre na fronteira (porque já encontramos o mínimo interior e a função é convexa — para funções convexas em conjuntos convexos, máximos ocorrem na fronteira). Métodos práticos para checar a fronteira: avaliar
nos vértices e também analisar cada aresta como um problema unidimensional (parametrizar e estudar a função de uma variável). Vou fazer os dois: primeiro checar vértices (candidatos naturais) e depois confirmar que nas arestas não aparece valor maior que o maior desses.
Usando a forma completada:
basta calcular
em cada vértice.
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Dos vértices, o maior valor é
em
.
Passo 6
Verificar as arestas: mostrar que em cada aresta a função como função de uma variável é quadrática convexa (logo seu máximo no segmento ocorre em um dos extremos do segmento), portanto não será maior que os valores nos vértices.
Aresta
: é dada por
. Substituindo:
Isto é uma parábola com coeficiente positivo (convexa). O mínimo ocorre em
(dentro do segmento) e os extremos do segmento dão valores
e
. O máximo em
é
em
.
Aresta
: é dada por
. Substituindo:
Também convexa em
; mínimo em
com valor
; nos extremos
e
obtemos
e
respectivamente. O máximo em
é
no vértice
.
Aresta
: é dada por
. Substituindo e simplificando obtém-se uma função quadrática em
com coeficiente positivo (pode-se expandir para confirmar), portanto convexa no intervalo, com mínimo possivelmente interno e máximos nos extremos
e
. Já calculámos esses extremos:
e
. O valor mínimo nessa aresta é menor (aproximadamente
) mas não importa para o máximo.
Como em cada aresta a função é quadrática convexa, os maiores valores em cada aresta ocorrem nos extremos (vértices) e o maior entre todos é
no vértice
.
Passo 7
Juntando tudo:
- O mínimo absoluto no triângulo é o mínimo interior já encontrado em
com valor . - O máximo absoluto no triângulo é
no vértice .
Resposta
Mínimo absoluto: ponto
com valor
Máximo absoluto: ponto com valor
Máximo absoluto: ponto