Encontre os mínimos e máximos absolutos de:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-8 x-4 y+18 no triângulo com vértices em (-1,-1),(5,-1) e (5,7).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos (mínimos e máximos) da função f(x,y)=x^{2}+y^{2}-8x-4y+18 restrita ao triângulo com vértices em (-1,-1), (5,-1) e (5,7).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+y^{2}-8x-4y+18.
  • O domínio é o triângulo convexo cujos vértices são A=(-1,-1), B=(5,-1) e C=(5,7).
  • O domínio é compacto (fechado e limitado), logo f atingirá máximos e mínimos absolutos nesse triângulo.
O que é pedido:
  • Identificar os pontos do triângulo onde f assume seus valores mínimo e máximo absolutos e apresentar esses valores.

Passo 2

Procurar pontos críticos interiores (candidatos a mínimo/ máximo no interior) usando gradiente.
A condição para um ponto crítico de f é que o gradiente se anule:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\mathbf{0}.
Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-8,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y-4.
Igualando a zero:
2x-8=0\quad\Rightarrow\quad x=4,
2y-4=0\quad\Rightarrow\quad y=2.
Logo há um único ponto crítico no plano: (4,2).
Vou explicar rapidamente o porquê: o gradiente aponta na direção de maior crescimento; onde ele é zero, a função pode ter mínimo, máximo ou ponto de sela. Aqui trata-se de uma função quadrática simples.

Passo 3

Identificar a natureza do ponto crítico e calcular o valor de f nele (aqui ensino uma técnica muito útil: completar quadrados para quadráticas).
Completar quadrados para entender a forma da função:
f(x,y)=x^{2}-8x+y^{2}-4y+18.
Agrupando e completando quadrado:
x^{2}-8x=(x-4)^{2}-16,\qquad y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4.
Substituindo:
f(x,y)=(x-4)^{2}+(y-2)^{2}-16-4+18=(x-4)^{2}+(y-2)^{2}-2.
Esta forma mostra que f é a função “distância ao ponto (4,2) ao quadrado”, deslocada por -2. Especificamente,
f(x,y)=\|(x,y)-(4,2)\|^{2}-2.
Como soma de quadrados, f é convexa e atinge seu menor valor exatamente em (4,2), com valor
f(4,2)=(0)+(0)-2=-2.
Portanto, no plano, (4,2) é o mínimo global da função com valor -2.

Passo 4

Verificar se o ponto crítico (4,2) pertence ao triângulo (só assim ele pode ser mínimo no domínio).
Descrição do triângulo: vértices A=(-1,-1), B=(5,-1), C=(5,7). Observações úteis:
  • A aresta AB é a reta y=-1 com x\in[-1,5].
  • A aresta BC é a reta x=5 com y\in[-1,7].
  • A aresta AC é a reta passando por (-1,-1) e (5,7). A equação dessa reta é
y+1=\frac{7-(-1)}{5-(-1)}(x+1)=\frac{8}{6}(x+1)=\frac{4}{3}(x+1),
ou seja
y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}.
Para (4,2): temos x=4\in[-1,5] e, na reta AC o valor superior é
y_{\text{AC}}(4)=\frac{4}{3}\cdot 4+\frac{1}{3}=\frac{16}{3}+\frac{1}{3}=\frac{17}{3}\approx5{,}667.
Como -1\le 2\le 17/3, o ponto (4,2) está entre as retas y=-1 e y_{\text{AC}}(x) para x=4. Logo (4,2) pertence ao interior do triângulo.
Conclusão: (4,2) é um ponto interior do domínio e, como é o mínimo global da função no plano, é também o mínimo absoluto no triângulo, com valor f(4,2)=-2.

Passo 5

Agora procurar máximos no domínio. Como o domínio é compacto e f é contínua, o máximo absoluto existe e ocorre na fronteira (porque já encontramos o mínimo interior e a função é convexa — para funções convexas em conjuntos convexos, máximos ocorrem na fronteira). Métodos práticos para checar a fronteira: avaliar f nos vértices e também analisar cada aresta como um problema unidimensional (parametrizar e estudar a função de uma variável). Vou fazer os dois: primeiro checar vértices (candidatos naturais) e depois confirmar que nas arestas não aparece valor maior que o maior desses.
Usando a forma completada:
f(x,y)=(x-4)^{2}+(y-2)^{2}-2,
basta calcular (x-4)^{2}+(y-2)^{2} em cada vértice.
Avaliar em A=(-1,-1):
f(-1,-1)=(-1-4)^{2}+(-1-2)^{2}-2=(-5)^{2}+(-3)^{2}-2=25+9-2=32.
Avaliar em B=(5,-1):
f(5,-1)=(5-4)^{2}+(-1-2)^{2}-2=1^{2}+(-3)^{2}-2=1+9-2=8.
Avaliar em C=(5,7):
f(5,7)=(5-4)^{2}+(7-2)^{2}-2=1^{2}+5^{2}-2=1+25-2=24.
Dos vértices, o maior valor é 32 em A=(-1,-1).

Passo 6

Verificar as arestas: mostrar que em cada aresta a função como função de uma variável é quadrática convexa (logo seu máximo no segmento ocorre em um dos extremos do segmento), portanto não será maior que os valores nos vértices.
Aresta AB: é dada por y=-1,\\ x\in[-1,5]. Substituindo:
f(x,-1)=(x-4)^{2}+(-1-2)^{2}-2=(x-4)^{2}+9-2=(x-4)^{2}+7.
Isto é uma parábola com coeficiente positivo (convexa). O mínimo ocorre em x=4 (dentro do segmento) e os extremos do segmento dão valores f(-1,-1)=32 e f(5,-1)=8. O máximo em AB é 32 em x=-1.
Aresta BC: é dada por x=5,\\ y\in[-1,7]. Substituindo:
f(5,y)=(5-4)^{2}+(y-2)^{2}-2=1+(y-2)^{2}-2=(y-2)^{2}-1.
Também convexa em y; mínimo em y=2 com valor -1; nos extremos y=-1 e y=7 obtemos 8 e 24 respectivamente. O máximo em BC é 24 no vértice C.
Aresta AC: é dada por y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{3},\\ x\in[-1,5]. Substituindo e simplificando obtém-se uma função quadrática em x com coeficiente positivo (pode-se expandir para confirmar), portanto convexa no intervalo, com mínimo possivelmente interno e máximos nos extremos x=-1 e x=5. Já calculámos esses extremos: f(-1,-1)=32 e f(5,7)=24. O valor mínimo nessa aresta é menor (aproximadamente 71/25) mas não importa para o máximo.
Como em cada aresta a função é quadrática convexa, os maiores valores em cada aresta ocorrem nos extremos (vértices) e o maior entre todos é 32 no vértice A=(-1,-1).

Passo 7

Juntando tudo:
  • O mínimo absoluto no triângulo é o mínimo interior já encontrado em (4,2) com valor f(4,2)=-2.
  • O máximo absoluto no triângulo é f(-1,-1)=32 no vértice (-1,-1).

Resposta

Mínimo absoluto: ponto (4,2) com valor -2
Máximo absoluto: ponto (-1,-1) com valor 32

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