Encontre o coeficiente que multiplica os seguintes termos nas respectivas expansões. Resolva todos os binômios, se houver.
x^{3} y^{4} na expansão de (x+2 y)^{7}

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente que multiplica o termo \,x^{3}y^{4}\, na expansão de \,(x+2y)^{7}\,.\n
Informações dadas:
\text{Expressão: }(x+2y)^{7}ã
\text{Termo procurado: }x^{3}y^{4}

Passo 2

Vamos usar a fórmula que descreve a expansão de um binómio (a identidade que usamos para desenvolver potências de somas):
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k}.
Explicando cada parte: \,n é o expoente total, \,k indica quantas vezes escolhemos o segundo termo b no produto, e \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta quantas maneiras existem de escolher essas k posições entre as n. Aqui vamos identificar a e b com os termos do nosso binómio:
a = x,\qquad b = 2y,\qquad n = 7.

Passo 3

Na fórmula cada termo geral tem a forma
\binom{7}{k} x^{\,7-k} (2y)^{\,k}.
Queremos o termo com x^{3}y^{4}. Então igualamos o expoente de x:
7-k = 3 \quad\Rightarrow\quad k = 4.
Portanto o termo desejado vem do k=4 na soma.

Passo 4

Escrevendo o termo correspondente a k=4:
\binom{7}{4} x^{3} (2y)^{4}.
Agora simplificamos (2y)^{4}:
(2y)^{4} = 2^{4} y^{4} = 16\,y^{4}.
Logo o termo fica
\binom{7}{4}\cdot 16 \; x^{3} y^{4}.

Passo 5

Calculamos \binom{7}{4}. Usamos a definição:
\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!\,3!} = \frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as contas:
\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1} = \frac{210}{6} = 35.
Então \binom{7}{4}=35. Multiplicando por 16:
35 \cdot 16 = 35\cdot(10+6) = 350 + 210 = 560.

Passo 6

Portanto o termo correspondente é
560\,x^{3}y^{4},
ou seja, o coeficiente que multiplica \,x^{3}y^{4}\, é \,560.

Resposta

560

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