Encontre o coeficiente que multiplica os seguintes termos nas respectivas expansões. Resolva todos os binômios, se houver.
x^{2} y^{5} na expansão de (x+y)^{7}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o coeficiente que multiplica o termo \;x^{2}y^{5}\; na expansão de \;(x+y)^{7}\;.
Informações dadas: o polinômio a expandir é \;(x+y)^{7}\; e o termo de interesse tem expoente 2 em x e expoente 5 em y.

Passo 2

Usamos o Teorema do Binômio. Ele diz que, para inteiro não negativo n,
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{\,n-k}.
Isto significa que, na expansão de (x+y)^{n}, o coeficiente do termo x^{k}y^{\,n-k} é \binom{n}{k}.
Aqui n é o grau total da potência e k é o expoente de x no termo que nos interessa.

Passo 3

No nosso caso temos n=7 e queremos o termo com x^{2}y^{5}, então k=2. Logo o coeficiente procurado é
\binom{7}{2}.
O coeficiente binomial é dado por fatorial:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n!=n\cdot(n-1)\cdots1 e 0!=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!\,5!}=\frac{7\cdot6\cdot5!}{(2\cdot1)\cdot5!}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=\frac{42}{2}.

Resposta

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