Refaça o exercício anterior, supondo que a f.d.p de X seja da forma
f(x)= \begin{cases}c x^{2}, & \text { se } 0<x<10 \\\\ 0, & \text { se } x \leq 0 \text { ou } x \geq 10\end{cases}

Passo 1

Vou relembrar claramente o que o enunciado nos dá e quais perguntas vou responder (assumindo que o “exercício anterior” pedia os itens clássicos para uma f.d.p.):
  • Dados: a densidade da variável aleatória X\) é \[f(x)= \begin{cases}c x^{2}, & \text{se } 0<x<10,\\[4pt] 0, & \text{se } x\le 0 \text{ ou } x\ge 10.\end{cases}
  • Perguntas que vou resolver passo a passo:
    1. Determinar a constante de normalização c\]. 2. Encontrar a função de distribuição acumulada \(F(x).
      3. Calcular \Pr(X<5) e \Pr(2<X<8).
      4. Calcular a esperança \mathbb{E}[X] e a variância \mathrm{Var}(X).
      5. Determinar a mediana m (valor tal que \Pr(X\le m)=0,5).]

Passo 2

Normalização — achar c.
Lembrete rápido: uma densidade de probabilidade deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui f(x) é zero fora de (0,10), então basta integrar nesse intervalo. Escrevo a integral e calculo cuidadosamente:
\int_{0}^{10} c x^{2}\,dx = 1.
Calculemos a integral passo a passo. A primitiva de x^{2} é \tfrac{1}{3}x^{3}, logo
c\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{10} = 1.
Substituindo os limites:
c\cdot\frac{1}{3}\cdot 10^{3} = 1.
Como 10^{3}=1000, temos
c\cdot\frac{1000}{3}=1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{3}{1000}.
Interpretação amigável: c ajusta a “área total” sob x^{2} no intervalo para ser 1.

Passo 3

Função de distribuição acumulada F(x).
Lembrete: F(x)=\Pr(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt. Vou construir F(x) por partes, respeitando o suporte da densidade.
  • Para x\le 0: F(x)=0 (porque toda a massa está em 0<x<10).
  • Para 0<x<10: faço a integral desde 0 até x:
F(x)=\int_{0}^{x} c t^{2}\,dt = c\cdot\frac{1}{3}x^{3}.
Usando c=\tfrac{3}{1000}, fica
F(x)=\frac{3}{1000}\cdot\frac{1}{3}x^{3}=\frac{x^{3}}{1000}.
  • Para x\ge 10: F(x)=1.
Resumo em forma única (útil na prova):
F(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] \dfrac{x^{3}}{1000}, & 0<x<10,\\[6pt] 1, & x\ge 10. \end{cases}]

Passo 4

Calcular probabilidades usando F(x).
  1. \Pr(X<5). Como a densidade é contínua, \Pr(X<5)=\Pr(X\le 5)=F(5). Uso a fórmula F(x)=\dfrac{x^{3}}{1000} para 0<x<10:
\Pr(X<5)=F(5)=\frac{5^{3}}{1000}=\frac{125}{1000}=0{,}125.
  1. \Pr(2<X<8). Para intervalo aberto a fórmula é F(8)-F(2). Calculo:
F(8)=\frac{8^{3}}{1000}=\frac{512}{1000}=0{,}512,
F(2)=\frac{2^{3}}{1000}=\frac{8}{1000}=0{,}008.
Portanto
\Pr(2<X<8)=F(8)-F(2)=0{,}512-0{,}008=0{,}504.

Passo 5

Esperança \mathbb{E}[X].
Lembrete e fórmula: para variável contínua com densidade f,
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx.
Aqui a integral reduz-se a 0 a 10. Substituo f(x)=c x^{2}:
\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{10} x\cdot c x^{2}\,dx = c\int_{0}^{10} x^{3}\,dx.
A primitiva de x^{3} é \tfrac{1}{4}x^{4}, então
\mathbb{E}[X]=c\left[\frac{1}{4}x^{4}\right]_{0}^{10}=c\cdot\frac{1}{4}\cdot 10^{4}.
Como 10^{4}=10000, temos
\mathbb{E}[X]=c\cdot\frac{10000}{4}=c\cdot 2500.
Substituindo c=\tfrac{3}{1000}:
\mathbb{E}[X]=\frac{3}{1000}\cdot 2500= \frac{7500}{1000}=7{,}5.
Interpretação: a média está à direita do meio do intervalo (0,10) porque a densidade cresce com x (mais peso em valores maiores).

Passo 6

Cálculo da variância \mathrm{Var}(X).
Lembrete: \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2}. Vou calcular \mathbb{E}[X^{2}] primeiro:
\mathbb{E}[X^{2}]=\int_{0}^{10} x^{2}\cdot f(x)\,dx = \int_{0}^{10} x^{2}\cdot c x^{2}\,dx = c\int_{0}^{10} x^{4}\,dx.
A primitiva de x^{4} é \tfrac{1}{5}x^{5}, então
\mathbb{E}[X^{2}]=c\left[\frac{1}{5}x^{5}\right]_{0}^{10}=c\cdot\frac{1}{5}\cdot 10^{5}.
Como 10^{5}=100000,
\mathbb{E}[X^{2}]=c\cdot\frac{100000}{5}=c\cdot 20000.
Com c=\tfrac{3}{1000}:
\mathbb{E}[X^{2}]=\frac{3}{1000}\cdot 20000 = \frac{60000}{1000}=60.
Agora a variância:
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2}=60-(7{,}5)^{2}=60-56{,}25=3{,}75.
Pequena interpretação: variância moderada porque a maior parte da massa está concentrada entre valores altos (próximos a 10), mas ainda há dispersão.

Passo 7

Mediana m: solução de F(m)=0{,}5.
Usando F(x)=\dfrac{x^{3}}{1000} para 0<x<10, imponho
\frac{m^{3}}{1000}=\frac{1}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 1000:
m^{3}=500.
Logo
m=\sqrt[3]{500}.
Valor numérico aproximado: como 8^{3}=512, a mediana é um pouco menor que 8. Aproximação:
m\approx 7{,}936\\ \text{(aproximadamente)}.

Resposta

c=\dfrac{3}{1000}.\) \(F(x)=\begin{cases}0, & x\le 0,\\[4pt]\dfrac{x^{3}}{1000}, & 0<x<10,\\[6pt]1, & x\ge 10.\end{cases}
\Pr(X<5)=0{,}125.
\Pr(2<X<8)=0{,}504.
\mathbb{E}[X]=7{,}5.
\mathrm{Var}(X)=3{,}75.
Mediana m=\sqrt[3]{500}\approx 7{,}936.]

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