Refaça o exercício anterior, supondo que a f.d.p de X seja da forma
f(x)= \begin{cases}c x^{2}, & \text { se } 0<x<10 \\\\ 0, & \text { se } x \leq 0 \text { ou } x \geq 10\end{cases}
Passo 1
Vou relembrar claramente o que o enunciado nos dá e quais perguntas vou responder (assumindo que o “exercício anterior” pedia os itens clássicos para uma f.d.p.):
Dados: a densidade da variável aleatória X\) é
\[f(x)= \begin{cases}c x^{2}, & \text{se } 0<x<10,\\[4pt] 0, & \text{se } x\le 0 \text{ ou } x\ge 10.\end{cases}
Perguntas que vou resolver passo a passo:
Determinar a constante de normalização c\].
2. Encontrar a função de distribuição acumulada \(F(x).
3. Calcular \Pr(X<5) e \Pr(2<X<8).
4. Calcular a esperança \mathbb{E}[X] e a variância \mathrm{Var}(X).
5. Determinar a mediana m (valor tal que \Pr(X\le m)=0,5).]
Passo 2
Normalização — achar c.
Lembrete rápido: uma densidade de probabilidade deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui f(x) é zero fora de (0,10), então basta integrar nesse intervalo. Escrevo a integral e calculo cuidadosamente:
\int_{0}^{10} c x^{2}\,dx = 1.
Calculemos a integral passo a passo. A primitiva de x^{2} é \tfrac{1}{3}x^{3}, logo
Interpretação amigável: c ajusta a “área total” sob x^{2} no intervalo para ser 1.
Passo 3
Função de distribuição acumulada F(x).
Lembrete: F(x)=\Pr(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt. Vou construir F(x) por partes, respeitando o suporte da densidade.
Para x\le 0: F(x)=0 (porque toda a massa está em 0<x<10).
Para 0<x<10: faço a integral desde 0 até x:
F(x)=\int_{0}^{x} c t^{2}\,dt = c\cdot\frac{1}{3}x^{3}.