Encontre os coeficientes c2, c3, c4 e c5 da série
f(x)=sumn=0^infty cn x^n
sabendo que cn satisfaz às equações:
cl 3 c2+2 c0 & =0 c3+c1 & =0 (n-1)(n-2) cn+cn-2 & =0, n=4,5, ldots
com c0=1 e c1=1.

Passo 1

O problema pede para encontrar os coeficientes c2, c3, c4 e c5 de uma série de potências f(x)=sumn=0^infty cn x^n, sabendo que c0=1, c1=1 e que os coeficientes satisfazem as equações dadas. Vamos usar as duas equações iniciais para c2 e c3 e depois a recorrência geral para n>=4.

Passo 2

A equação 3c2 + 2c0 = 0 com c0=1
3c2 + 2=0,
o que implica
c2 = -tfrac23

Passo 3

A equação c3 + c1 = 0 com c1=1
c3 + 1=0,
o que implica
c3 = -1

Passo 4

A recorrência geral para n>=4 é
(n-1)(n-2)cn + cn-2 = 0
o que leva a
cn = -cn-2(n-1)(n-2)

Passo 5

Para n=4 temos
c4 = -c2(4-1)(4-2) = --2/33cdot 2 = 2/36 = 19

Passo 6

Para n=5 temos
c5 = -c3(5-1)(5-2) = --14cdot 3 = 112

Resposta

c_2 = -\tfrac{2}{3}, ; c_3 = -1, ; c_4 = \tfrac{1}{9}, ; c_5 = \tfrac{1}{12}.

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