Numa reação
X+Y Z+W
a quantidade de moléculas do composto Z que são formadas a cada segundo é
zn=An^2+n,
onde A é uma constante. Encontre a quantidade total de moléculas Z formadas ao longo de toda a reação, a partir do primeiro segundo.

Passo 1

A questão dá a taxa de formação de Z em cada segundo como zn=dfracAn^2+n e pede a soma total de moléculas formadas desde n=1 até o fim da reação. O conteúdo envolvido aqui é séries infinitas, mais especificamente séries telescópicas.

Passo 2

Primeiro a gente observa que n^2+n = n(n+1), então podemos usar frações parciais:
1n(n+1) = 1n - 1n+1
Isso significa que
zn = An(n+1) = Al(1n - 1n+1r)

Passo 3

Agora somamos zn de n=1 até N. A série fica
SN = sumn=1^N zn = Asumn=1^N l(1n - 1n+1r)

Passo 4

Por ser telescópica, quase tudo cancela e sobra
SN = Al(1 - 1N+1r)

Passo 5

Quando Ntoinfty, o termo 1/(N+1) vai a zero, então a soma total é
limNtoinftySN = Acdot1 = A

Resposta

A

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