Encontre o comprimento do arco da curva descrita parametricamente por r(t)=lang<=cos t, sin t, ln (cos t)rang<=, de t=0 a t=pi / 4. Passo 1Temos a curva paramétrica r(t)=lang<=cos t,sin t,ln(cos t)rang<= e queremos seu comprimento de arco de t=0 até t=pi/4. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva no espaço, e para isso vamos usar a fórmula S=integrala^b|r'(t)|,dt. Passo 2Derivando componente a componente, obtemos r'(t)=llang<= -sin t,;cos t,;tfracddtln(cos t)rrang<==lang<= -sin t,cos t,-tan trang<= Passo 3Agora calculamos a norma de r'(t): |r'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+(-tan t)^2 =raizsin^2t+cos^2t+tan^2t =raiz1+tan^2t =|sec t| Como t vai de 0 a pi/4, cos t>0 e fica |r'(t)|=sec t. Passo 4Portanto, montamos o integral de arco: S=integral0^pi/4sec t,dt Recordando que integralsec t,dt=lnl|sec t+tan tr|+C. Passo 5Avaliando de 0 a pi/4, temos Resposta ln(raiz2+1) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosLocalize no plano cartesiano os seguintes pontos: G=(raiz3, 1) Localize no plano cartesiano os seguintes pontos: Determine o limite da sequência an=2^-n cos n pi. Nos itens abaixo, decida se a função dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente, determine os valores de x para os quais a função é negativa, nula ou positiva, e esboce seu gráfico. f(x)=2 x-3