Encontre o comprimento do arco da curva descrita parametricamente por r(t)=lang<=cos t, sin t, ln (cos t)rang<=, de t=0 a t=pi / 4.

Passo 1

Temos a curva paramétrica r(t)=lang<=cos t,sin t,ln(cos t)rang<= e queremos seu comprimento de arco de t=0 até t=pi/4. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva no espaço, e para isso vamos usar a fórmula S=integrala^b|r'(t)|,dt.

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos
r'(t)=llang<= -sin t,;cos t,;tfracddtln(cos t)rrang<==lang<= -sin t,cos t,-tan trang<=

Passo 3

Agora calculamos a norma de r'(t):
|r'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+(-tan t)^2 =raizsin^2t+cos^2t+tan^2t =raiz1+tan^2t =|sec t|
Como t vai de 0 a pi/4, cos t>0 e fica |r'(t)|=sec t.

Passo 4

Portanto, montamos o integral de arco:
S=integral0^pi/4sec t,dt
Recordando que
integralsec t,dt=lnl|sec t+tan tr|+C.

Passo 5

Avaliando de 0 a pi/4, temos

Resposta

ln(raiz2+1)

Exercícios relacionados