Encontre o comprimento de arco da curva y=k cdot cosh (1k x) desde x=0 até x=k. Lembrando que cosh 0=1 e senh 0=0.
a) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é cosh (1)-1.
b) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é senh(1).
c) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é cosh (k)-cosh 1.
d) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é senh(k) - senh1.
e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

Temos a curva definida por y=k·cosh(x/k) no intervalo x=0 até x=k e precisamos calcular o comprimento de arco usando a fórmula de funções y(x). Vamos usar a fórmula
s=integral0^kraiz1+l(y'(x)r)^2,dx

Passo 2

Derivando y(x) em relação a x, como y=k·cosh(x/k), obtemos

Passo 3

No integrando substituímos y’(x):

Passo 4

Aplicando a identidade hiperbólica 1+sinh^2u=cosh^2u, temos

Passo 5

O comprimento de arco fica

Passo 6

Para integrar, fazemos a troca de variável u=x/k, logo dx=k·du e quando x=0→u=0, x=k→u=1. Isso dá
s=integral0^1cosh(u)·k,du=kintegral0^1cosh(u),du

Passo 7

Sabemos que integralcosh(u),du=sinh(u). Portanto
s=kl[sinh(u)r]0^1=kl(sinh(1)-sinh(0)r)=ksinh(1) pois sinh(0)=0.

Passo 8

Comparando com as alternativas dadas, nenhuma exibe o fator k. A única forma correta é s= k·sinh(1), logo é “nenhuma das anteriores”.

Resposta

Nenhuma das anteriores (o comprimento de arco é ksinh(1)).

Exercícios relacionados