Encontre o comprimento de arco da curva
desde
até
. Lembrando que
e
.
a) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é
.
b) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é senh(1).
c) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é
.
d) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é senh(k) - senh1.
e) Nenhuma das anteriores
a) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é
b) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é senh(1).
c) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é
d) 0 comprimento de arco da curva, no intervalo dado, é senh(k) - senh1.
e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
Temos a curva definida por y=k·cosh(x/k) no intervalo x=0 até x=k e precisamos calcular o comprimento de arco usando a fórmula de funções y(x). Vamos usar a fórmula
Passo 2
Derivando y(x) em relação a x, como y=k·cosh(x/k), obtemos
Passo 3
No integrando substituímos y’(x):
Passo 4
Aplicando a identidade hiperbólica
, temos
Passo 5
O comprimento de arco fica
Passo 6
Para integrar, fazemos a troca de variável u=x/k, logo dx=k·du e quando x=0→u=0, x=k→u=1. Isso dá
Passo 7
Sabemos que
. Portanto
Passo 8
Comparando com as alternativas dadas, nenhuma exibe o fator k. A única forma correta é s= k·sinh(1), logo é “nenhuma das anteriores”.
Resposta
Nenhuma das anteriores (o comprimento de arco é
).