Considere o campo vectorial
F(x, y, z)=(-2 x(x^2-y^2)^2, 2 y(x^2-y^2)^2, z^2)
Calcule o integral de linha integralC F onde C é a curva descrita pelo caminho
g(t)=(e^t, sen t, t), 0 <= t <= pi2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a integral de linha de um campo vetorial $ F(x, y, z) $ ao longo de uma curva $ C $ definida por $ g(t) $. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha. Vamos precisar saber como parametrizar a curva, substituir na expressão do campo vetorial e depois calcular a integral em relação a $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a curva $ C $ que é dada por $ g(t) = (e^{t}, \sin t, t) $ para $ t $ variando de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{2} $. Essa parametrização nos ajuda a expressar $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ t $:
C

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ g(t) $, ou seja, $ g’(t) $, que representa o vetor tangente à curva em cada ponto:
g(t)

Passo 4

Vamos substituir $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ na expressão do campo vetorial $ F(x, y, z) $:
x(t)

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar $ F(g(t)) \cdot g’(t) $:
F(g(t)) cdot g'(t)
Simplificando:
F(g(t)) cdot g'(t) = ( -2 e^t(e^2t - sin^2 t)^2 ) cdot e^t + ( 2 sin t(e^2t - sin^2 t)^2 ) cdot cos t + t^2 cdot 1

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ t $ de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $:
t

Passo 7

Vamos notar que a primeira parte da integral pode ser simplificada. Observando que a derivada de $ \frac{1}{e^{2t} - \sin^{2} t} $ em relação a $ t $ é:
1e^2t - sin^2 t
Perceba que nossa expressão na integral é:
t
Que é exatamente a derivada de $ \frac{1}{e^{2t} - \sin^{2} t} $. Portanto, podemos reescrever a integral como:
ddt ( 1e^2t - sin^2 t ) = -2 e^2t - 2 sin t cos t(e^2t - sin^2 t)^2

Passo 8

Agora, calculamos cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^pi2 ddt ( 1e^2t - sin^2 t ) dt = [ 1e^2t - sin^2 t ]0^pi2
Segunda integral:
integral0^pi2 t^2 dt = [ t^33 ]0^pi2 = 13 ( ( pi2 )^3 - 0 ) = pi^324

Passo 9

Vamos avaliar a primeira parte:
[ 1e^2t - sin^2 t ]0^pi2 = 1e^pi - sin^2 ( pi2 ) - 1e^0 - sin^2(0) = 1e^pi - 1 - 11 - 0 = 1e^pi - 1 - 1

Passo 10

Agora, juntando tudo:
integralC F cdot dr = ( 1e^pi - 1 - 1 ) + pi^324 = -e^pie^pi - 1 + pi^324

Resposta

A integral de linha é igual a $ -\frac{e{\pi}}{e{\pi} - 1} + \frac{\pi^{3}}{24} $.

Exercícios relacionados