Considere o campo vectorial
Calcule o integral de linha
onde
é a curva descrita pelo caminho
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a integral de linha de um campo vetorial $ F(x, y, z) $ ao longo de uma curva $ C $ definida por $ g(t) $. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha. Vamos precisar saber como parametrizar a curva, substituir na expressão do campo vetorial e depois calcular a integral em relação a $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a curva $ C $ que é dada por $ g(t) = (e^{t}, \sin t, t) $ para $ t $ variando de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{2} $. Essa parametrização nos ajuda a expressar $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ t $:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ g(t) $, ou seja, $ g’(t) $, que representa o vetor tangente à curva em cada ponto:
Passo 4
Vamos substituir $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ na expressão do campo vetorial $ F(x, y, z) $:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar $ F(g(t)) \cdot g’(t) $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ t $ de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $:
Passo 7
Vamos notar que a primeira parte da integral pode ser simplificada. Observando que a derivada de $ \frac{1}{e^{2t} - \sin^{2} t} $ em relação a $ t $ é:
Perceba que nossa expressão na integral é:
Que é exatamente a derivada de $ \frac{1}{e^{2t} - \sin^{2} t} $. Portanto, podemos reescrever a integral como:
Passo 8
Agora, calculamos cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 9
Vamos avaliar a primeira parte:
Passo 10
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral de linha é igual a $ -\frac{e{\pi}}{e{\pi} - 1} + \frac{\pi^{3}}{24} $.