Prove que:
sumn=1^+infty n e^n(e+1)^n=e(e+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita sumn=1^+infty n e^n(e+1)^n. O conteúdo aqui é soma de séries do tipo sum n a^n, e vamos usar a série geométrica e sua derivada para resolver.

Passo 2

Primeiro, note que podemos escrever o termo geral como n a^n, onde definimos a = ee+1. Assim
sumn=1^+infty n e^n(e+1)^n = sumn=1^+infty n l(ee+1r)^n = sumn=1^+infty n a^n

Passo 3

Lembrando a série geométrica básica: para |a|<1 vale
sumn=0^+infty a^n = 11-a

Passo 4

Para obter sum n a^n, derivamos em relação a a:
ddal(sumn=0^+infty a^nr) = ddal(11-ar)Longrightarrow sumn=1^+infty n a^n-1 = 1(1-a)^2

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por a para voltar a sum n a^n, temos
sumn=1^+infty n a^n = a(1-a)^2

Passo 6

Basta agora substituir a = ee+1. Note que
[1 - a = 1 - \frac{e}{e+1} = \frac{1}{e+1}."]
Logo
$$\sum_{n=1}^{+\infty} n a^n = \frac{\frac{e}{e+1}}{\bigl(\frac{1}{e+1}\bigr)^2} = \frac{e}{e+1} \cdot (e+1)^2 = e(e+1).
$$

Resposta

A soma converge para e(e+1).

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