Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma infinita
. O conteúdo aqui é soma de séries do tipo
, e vamos usar a série geométrica e sua derivada para resolver.
Passo 2
Primeiro, note que podemos escrever o termo geral como
, onde definimos
. Assim
Passo 3
Lembrando a série geométrica básica: para
vale
Passo 4
Para obter
, derivamos em relação a
:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para voltar a
, temos
Passo 6
Basta agora substituir
. Note que
[1 - a = 1 - \frac{e}{e+1} = \frac{1}{e+1}."]
Logo
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$$\sum_{n=1}^{+\infty} n a^n = \frac{\frac{e}{e+1}}{\bigl(\frac{1}{e+1}\bigr)^2} = \frac{e}{e+1} \cdot (e+1)^2 = e(e+1).
$$
Resposta
A soma converge para
.