Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumn=1^+infty 4^n+27^n-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência e, se tiver, achar a soma da série sumn=1^infty 4^n+27^n-1. O conteúdo aqui é série geométrica: vamos reescrever o termo geral de modo a identificar a razão r e o fator inicial.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral:
4^n+27^n-1 = 4^2 cdot 4^n cdot 7 ,/,7^n = 16 cdot 7 ;4^n7^n = 112 l(47r)^n
Agora vemos que a série é
sumn=1^infty 4^n+27^n-1 = 112 sumn=1^infty l(47r)^n,
Como |4/7|<1, a série geométrica converge. Para uma série geométrica de primeira termo r e razão r, a soma é
sumn=1^infty r^n = r1-r

Passo 3

Aplicando com r=4/7 e fator 112:
S = 112 cdot tfrac471 - tfrac47 = 112 cdot 4/73/7 = 112 cdot 43 = 4483

Resposta

A série converge e sua soma é 4483.

Exercícios relacionados