Encontre o comprimento do arco da curva
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva $ y = x^{\frac{3}{2}} $ no intervalo de $ 1 \leq x \leq 2 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de um arco de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função $ y = f(x) $ entre $ x = a $ e $ x = b $. A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar tudo isso de 1 a 2.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y = x^{\frac{3}{2}} $. Usando a regra do poder:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento do arco:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja $ u = 4 + 9x $, então $ \frac{du}{dx} = 9 $ ou $ dx = \frac{du}{9} $. Também precisamos mudar os limites de integração:
- Quando $ x = 1 $, $ u = 4 + 9(1) = 13 $
- Quando $ x = 2 $, $ u = 4 + 9(2) = 22 $
Substituindo na integral:
Passo 8
Vamos integrar $ u^{\frac{1}{2}} $:
Aplicando isso na expressão de $ L $:
Passo 9
Agora, vamos calcular numericamente:
Subtraindo:
Dividindo por 27:
Resposta
O comprimento do arco da curva $ y = x^{\frac{3}{2}} $ no intervalo de $ 1 \leq x \leq 2 $ é aproximadamente 2,085 unidades.