Encontre o comprimento do arco da curva y=x^32 em 1 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva $ y = x^{\frac{3}{2}} $ no intervalo de $ 1 \leq x \leq 2 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de um arco de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função $ y = f(x) $ entre $ x = a $ e $ x = b $. A fórmula é:
y = f(x)
Isso significa que a gente precisa calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar tudo isso de 1 a 2.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ y = x^{\frac{3}{2}} $. Usando a regra do poder:
y = x^32

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
( dydx )^2 = ( 32 x^12 )^2 = 94 x

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento do arco:
L = integral1^2 raiz1 + 94 x , dx

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz1 + 94 x = raiz4 + 9x4 = raiz4 + 9x2
Então, a integral fica:
L = 12 integral1^2 raiz4 + 9x , dx

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja $ u = 4 + 9x $, então $ \frac{du}{dx} = 9 $ ou $ dx = \frac{du}{9} $. Também precisamos mudar os limites de integração:
  • Quando $ x = 1 $, $ u = 4 + 9(1) = 13 $
  • Quando $ x = 2 $, $ u = 4 + 9(2) = 22 $
Substituindo na integral:
u = 4 + 9x

Passo 8

Vamos integrar $ u^{\frac{1}{2}} $:
u^12
Aplicando isso na expressão de $ L $:
integral u^12 , du = 23 u^32 + C

Passo 9

Agora, vamos calcular numericamente:
22^32 = 22 cdot raiz22 approx 22 cdot 4,6904 approx 103,189
13^32 = 13 cdot raiz13 approx 13 cdot 3,6056 approx 46,872
Subtraindo:
103,189 - 46,872 approx 56,317
Dividindo por 27:
L approx 56,31727 approx 2,085

Resposta

O comprimento do arco da curva $ y = x^{\frac{3}{2}} $ no intervalo de $ 1 \leq x \leq 2 $ é aproximadamente 2,085 unidades.

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