Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
p(x)=x^4 raiz[3]2 x-1tg^3(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função p(x)=x^4raiz[3]2x-1tan^3(2x) usando diferenciação logarítmica. Vamos usar propriedades de logaritmo (produto, quociente e potência) e depois aplicar regra da cadeia e derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Aplicamos ln em ambos os lados. Primeiro reescrevemos produtos, quocientes e potências via log:
ln p(x)=lnl(x^4r)+lnl((2x-1)^1/3r)-lnl(tan^3(2x)r)
Agora usamos ln(a^k)=kln a:
ln p(x)=4ln x+13ln(2x-1)-3lnl(tan(2x)r)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, d(ln p)/dx=p'/p. No direito, aplicamos derivada termo a termo:
p'(x)p(x)=4ddx(ln x)+13ddxl(ln(2x-1)r)-3ddxl(ln(tan(2x))r)

Passo 4

Calculamos cada derivada usando regra da cadeia:
  • ddx(ln x)=1x.
  • ddx(ln(2x-1))=12x-1cdot2.
  • ddx(ln(tan(2x)))=1tan(2x)cdotsec^2(2x)cdot2.

Passo 5

Substituindo:
p'p=4cdot1x+13cdot22x-1-3cdot2sec^2(2x)tan(2x) =4x+23(2x-1)-6sec^2(2x)tan(2x)

Passo 6

Finalmente, isolamos p'(x) multiplicando por p(x) e voltamos à forma original de p:
p'(x)=p(x)l(4x+23(2x-1)-6sec^2(2x)tan(2x)r) =x^4(2x-1)^1/3tan^3(2x)l(4x+23(2x-1)-6sec^2(2x)tan(2x)r)

Resposta

p'(x)=x^4(2x-1)^1/3tan^3(2x)(4x+23(2x-1)-6sec^2(2x)tan(2x))

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