Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
Passo 1
A função dada é
. O que o enunciado pede é a derivada
usando diferenciação logarítmica, então vamos usar as regras de derivada de logaritmo, cadeia e produto.
Passo 2
Para simplificar o cálculo, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados. Assim temos:
Isso transforma produto em soma de logaritmos.
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Pela regra da derivada de
e da soma:
Em cada termo usamos regra da cadeia.
Passo 4
Calculamos cada derivada interna:
-
-
-
Substituindo:
E simplificando o segundo e o terceiro termos:
Passo 5
Por fim, voltamos à
multiplicando ambos os lados por
:
Pronto!