Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
S(x)=tg^5 x(e^x+xe^x)^3 raiz[3]3 x-1

Passo 1

A função dada é S(x)=tan^5 x,(e^x+xe^x)^3,(3x-1)^1/3. O que o enunciado pede é a derivada S'(x) usando diferenciação logarítmica, então vamos usar as regras de derivada de logaritmo, cadeia e produto.

Passo 2

Para simplificar o cálculo, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados. Assim temos:
ln S(x)=5ln(tan x)+3ln(e^x+xe^x)+13ln(3x-1)
Isso transforma produto em soma de logaritmos.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Pela regra da derivada de ln(u) e da soma:
S'(x)S(x)=5cdot1tan xcdot(tan x)' +3cdot1e^x+xe^xcdot(e^x+xe^x)' +13cdot13x-1cdot(3x-1)'
Em cada termo usamos regra da cadeia.

Passo 4

Calculamos cada derivada interna:
  • (tan x)'=sec^2 x
  • (e^x+xe^x)'=e^x+(e^x+xe^x)= (2+x)e^x
  • (3x-1)'=3
    Substituindo:
S'S=5sec^2 xtan x+3(2+x)e^xe^x(1+x)+1333x-1
E simplificando o segundo e o terceiro termos:
S'S=5sec^2 xtan x+3x+2x+1+13x-1

Passo 5

Por fim, voltamos à S'(x) multiplicando ambos os lados por S(x):
S'(x)=tan^5 x,(e^x+xe^x)^3,(3x-1)^1/3(5sec^2 xtan x+3x+2x+1+13x-1)
Pronto!

Resposta

S'(x)=tan^5 x,(e^x+xe^x)^3,(3x-1)^1/3(5sec^2 xtan x+3x+2x+1+13x-1)

Exercícios relacionados