Encontre o comprimento de arco das curvas dada abaixo:
Questão 13.
r=e^2 theta ; 0 <= theta <= pi / 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva em coordenadas polares definida por r = e^2theta para 0 <= theta <= tfracpi3. O conteúdo necessário é a fórmula de comprimento de arco em coordenadas polares:
L = integraltheta1^theta2 raizr(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Aplicamos a fórmula com r(theta)=e^2theta, theta1=0, theta2=tfracpi3. Precisamos de r'(theta).

Passo 3

Calculamos a derivada
r'(theta) = ddtheta e^2theta = 2,e^2theta
Então
r(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2 = e^4theta + (2e^2theta)^2 = e^4theta + 4e^4theta = 5,e^4theta,
e o integrando fica
raiz5,e^4theta = raiz5,e^2theta

Passo 4

O comprimento de arco é
L = integral0^pi/3 raiz5,e^2theta,dtheta = raiz5 integral0^pi/3 e^2theta,dtheta = raiz5,l[e^2theta2r]0^pi/3 = raiz52l(e^2pi/3-1r)

Resposta

L = raiz52l(e^tfrac2pi3 - 1r)

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