Encontre o comprimento de arco das curvas paramétricas
a)
a)
Passo 1
E aí! O exercício pede para a gente encontrar o comprimento de arco de uma curva definida por e , no intervalo de
de 0 a
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e aplicar a fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Para :
Para :
Passo 3
Agora que temos
e , vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Agora, basta calcular a integral:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
unidades.