Encontre o comprimento de arco das curvas paramétricas
a) x = cos(t) + t sen(t), y = sen(t) - t cos(t) como 0 <= t <= pi

Passo 1

E aí! O exercício pede para a gente encontrar o comprimento de arco de uma curva definida por e , no intervalo de de 0 a . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. Para isso, precisamos calcular as derivadas de e em relação a e aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de e em relação a .
Para :
Para :

Passo 3

Agora que temos e , vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, basta calcular a integral:

Resposta

O comprimento de arco da curva é unidades.

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