Determine o comprimento das curvas
d) x = e^t cos(t), y = e^t sen(t), 0 <= t <= pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o comprimento de uma curva definida pelas equações paramétricas e , onde varia de até . Isso faz parte de geometria analítica e cálculo, especialmente o que estuda como encontrar o comprimento de curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de e em relação a e depois usar essas derivadas na fórmula do comprimento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções e em relação a . Isso significa calcular e .
Para :
Isso usou a regra do produto para derivadas.
Para :
Também aplicamos a regra do produto aqui.

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado das derivadas e somar elas. Ou seja, vamos encontrar .

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos de cada termo:
Expandindo os quadrados:
Somando as duas expressões:
Como , temos:

Passo 5

Agora, pegamos a raiz quadrada dessa soma para usar na fórmula do comprimento da curva:

Passo 6

Finalmente, vamos integrar essa expressão de até para encontrar o comprimento da curva:
A integral de é , então:

Resposta

O comprimento da curva é .

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