Em um sistema de coordenadas retangulares convencional, construir o seguinte:
(a) Um produto interno que não seja positivo definido.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos construir um produto interno em um sistema de coordenadas retangulares que não seja positivo definido. Para isso, vamos precisar entender o que é produto interno e o que significa ser positivo definido.

Passo 2

Um produto interno é uma operação que associa dois vetores a um número real, geralmente denotado por ⟨u, v⟩. Em coordenadas retangulares convencionais, o produto interno padrão é dado por:
Este produto interno é positivo definido, o que significa que para qualquer vetor , temos , e igual a zero apenas se for o vetor nulo.

Passo 3

Para construir um produto interno que não seja positivo definido, precisamos que exista pelo menos um vetor onde . Uma maneira de fazer isso é alterar os coeficientes na soma do produto interno.

Passo 4

Vamos considerar um espaço de duas dimensões para simplificar. Definimos o produto interno da seguinte forma:
Aqui, o sinal negativo no segundo termo pode levar a que seja negativo para alguns vetores.

Passo 5

Vamos verificar se esse produto interno realmente não é positivo definido. Tomemos o vetor :
Como , concluímos que este produto interno não é positivo definido.

Resposta

Um exemplo de produto interno que não é positivo definido no espaço bidimensional é dado por:

Exercícios relacionados