Em um sistema de coordenadas retangulares convencional, construir o seguinte:
(a) Um produto interno que não seja positivo definido.
(a) Um produto interno que não seja positivo definido.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos construir um produto interno em um sistema de coordenadas retangulares que não seja positivo definido. Para isso, vamos precisar entender o que é produto interno e o que significa ser positivo definido.
Passo 2
Um produto interno é uma operação que associa dois vetores a um número real, geralmente denotado por ⟨u, v⟩. Em coordenadas retangulares convencionais, o produto interno padrão é dado por:
Este produto interno é positivo definido, o que significa que para qualquer vetor
, temos
, e igual a zero apenas se
for o vetor nulo.
Passo 3
Para construir um produto interno que não seja positivo definido, precisamos que exista pelo menos um vetor
onde
. Uma maneira de fazer isso é alterar os coeficientes na soma do produto interno.
Passo 4
Vamos considerar um espaço de duas dimensões para simplificar. Definimos o produto interno da seguinte forma:
Aqui, o sinal negativo no segundo termo pode levar a que
seja negativo para alguns vetores.
Passo 5
Vamos verificar se esse produto interno realmente não é positivo definido. Tomemos o vetor
:
Como
, concluímos que este produto interno não é positivo definido.
Resposta
Um exemplo de produto interno que não é positivo definido no espaço bidimensional é dado por: