Encontre o comprimento do arco formado pela curva x=18 y^4+14 y^-2 de y=1 até y=4.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva definida por x=tfrac18y^4+tfrac14y^-2 para y de 1 até 4. O conteúdo é comprimento de arco de uma curva dada como x=f(y). Para resolver, vamos usar a fórmula
L=integraly1^y2raiz1+l(tfracdxdyr)^2,dy
.

Passo 2

Calculamos a derivada dx/dy. Como x=tfrac18y^4+tfrac14y^-2, temos
dxdy=18cdot4y^3+14cdot(-2)y^-3=12y^3-12y^-3

Passo 3

Formamos o integrando 1+(dx/dy)^2 e mostramos que é um quadrado perfeito:
1+l(tfrac12(y^3-y^-3)r)^2=1+tfrac14(y^6-2+y^-6)=tfrac14y^6+tfrac12+tfrac14y^-6=l(tfrac12(y^3+y^-3)r)^2
Assim
raiz1+l(tfracdxdyr)^2=12(y^3+y^-3)

Passo 4

O comprimento de arco fica
L=integral1^412(y^3+y^-3),dy=12integral1^4(y^3+y^-3),dy
Agora calculamos a integral:
integral(y^3+y^-3),dy=y^44-12y^-2

Passo 5

Avaliamos de 1 a 4:
L=12l[y^44-12y^-2r]1^4 =12l(64-tfrac132 -l(tfrac14-tfrac12r)r) =12l(204732+18r) =205564

Resposta

2055/64

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