Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de
até
ou no intervalo especificado.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco do gráfico da função
entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco da matemática, que envolve cálculo diferencial. A gente vai precisar calcular a derivada da função e depois fazer uma integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da tangente em cada ponto da curva, e é essencial para calcular o comprimento do arco.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é parte da fórmula do comprimento do arco. Isso ajuda a levar em conta as mudanças na inclinação da curva.
Passo 4
Com isso, a fórmula para o comprimento do arco
entre
e
fica assim:
Essa integral vai nos dar o comprimento total do arco entre os dois pontos.
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Podemos fazer uma substituição simples para facilitar:
Deixe
, então
.
A integral fica:
Agora, aplicamos os limites de integração de 4 a 9:
Calculando os termos:
Substituindo de volta:
Resposta
O comprimento do arco entre os pontos
e
é aproximadamente 13,63 unidades.