Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de P até Q ou no intervalo especificado.
(b) y = 2/3 x^(3/2) - 1 ; P(4, 13/3), Q(9, 17).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco do gráfico da função entre os pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco da matemática, que envolve cálculo diferencial. A gente vai precisar calcular a derivada da função e depois fazer uma integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da tangente em cada ponto da curva, e é essencial para calcular o comprimento do arco.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é parte da fórmula do comprimento do arco. Isso ajuda a levar em conta as mudanças na inclinação da curva.

Passo 4

Com isso, a fórmula para o comprimento do arco entre e fica assim:
Essa integral vai nos dar o comprimento total do arco entre os dois pontos.

Passo 5

Vamos resolver a integral . Podemos fazer uma substituição simples para facilitar:
Deixe , então .
A integral fica:
Agora, aplicamos os limites de integração de 4 a 9:
Calculando os termos:
Substituindo de volta:

Resposta

O comprimento do arco entre os pontos e é aproximadamente 13,63 unidades.

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