Sejam as funções abaixo:
, para
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as representações em séries de Fourier usando senos e cossenos para a função
no intervalo
. A gente vai usar conceitos de séries de Fourier, que são uma forma de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes das séries de senos e de cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a série de Fourier em senos para
no intervalo
. A série de senos é usada quando a função é estendida de forma ímpar fora do intervalo. A fórmula geral para os coeficientes
é:
Passo 3
Vamos calcular a integral para
:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes duas vezes. Primeiro, definimos
e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Agora, aplicamos integração por partes novamente na integral restante, com
e
, obtendo:
Substituindo de volta:
Avaliaremos nos limites de 0 a
. Note que
e
:
Simplificando:
Então, os coeficientes da série de Fourier em senos são:
Passo 4
Agora, vamos escrever a série de Fourier em senos para
:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a série de Fourier em cossenos para
no intervalo
. A série de cossenos é usada quando a função é estendida de forma par fora do intervalo. A fórmula geral para os coeficientes
é:
Passo 6
Vamos calcular a integral para
:
Usamos integração por partes duas vezes novamente. Primeiro,
e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Agora, aplicamos integração por partes na integral restante, com
e
, obtendo:
Substituindo de volta:
Avaliaremos nos limites de 0 a
. Note que
e
:
Então, os coeficientes da série de Fourier em cossenos são:
Resposta
I) A série de Fourier em senos para
no intervalo
é:
II) A série de Fourier em cossenos para
no intervalo
é: