Encontre o comprimento de arco do gráfico da equação dada entre os pontos P e Q ou no intervalo especificado.
a) y=-2 x+3 P:(-1,5), Q:(2,-1);
b) cosh (x) [0, ln (2)]
c) ln cos x [0, pi / 4]
d) raiz4-x^2[0,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o comprimento do arco do gráfico da equação dada entre os pontos P e Q ou no intervalo especificado. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o conceito de comprimento de arco de uma função. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco, que envolve derivadas.

Parte a) $ y = -2x + 3 \quad P:(-1,5), Q:(2,-1) $

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o comprimento de arco. Imagine que você tem uma curva no gráfico de uma função e quer saber a distância ao longo dessa curva entre dois pontos. Para funções lineares, como essa, o comprimento do arco é simplesmente a distância reta entre os dois pontos.

Passo 3

A fórmula para a distância entre dois pontos $ P(x_1, y_1) $ e $ Q(x_2, y_2) $ no plano é:
P(x1, y1)
Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula aos pontos dados:
P(-1,5) e Q(2,-1)
Calculando as diferenças:
x2 - x1 = 2 - (-1) = 3
y2 - y1 = -1 - 5 = -6

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula:
d = raiz3^2 + (-6)^2 = raiz9 + 36 = raiz45
Podemos simplificar:
raiz45 = raiz9 times 5 = 3raiz5

Passo 6

Agora, vamos encontrar o comprimento do arco da função hiperbólica $ \cosh(x) $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = \ln(2) $. Aqui, usamos novamente a fórmula do comprimento de arco, mas dessa vez para uma função não linear.

Passo 7

A fórmula do comprimento de arco para uma função $ y = f(x) $ no intervalo de $ a $ a $ b $ é:
y = f(x)
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ y = \cosh(x) $.

Passo 8

A derivada de $ \cosh(x) $ é $ \sinh(x) $. Então, $ \frac{dy}{dx} = \sinh(x) $.

Passo 9

Substituindo na fórmula:
L = integral0^ln(2) raiz1 + sinh^2(x) , dx
Sabemos que $ 1 + \sinh^2(x) = \cosh^2(x) $, então:
1 + sinh^2(x) = cosh^2(x)

Passo 10

A integral de $ \cosh(x) $ é $ \sinh(x) $. Calculando:
cosh(x)
Sabemos que $ \sinh(0) = 0 $, então:
sinh(x)
Usando a identidade $ \sinh(\ln(a)) = \frac{a^2 - 1}{2a} $, com $ a = 2 $:
L = sinh(x) |0^ln(2) = sinh(ln(2)) - sinh(0)

Passo 11

Vamos calcular o comprimento do arco da função $ y = \ln(\cos(x)) $ no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = \frac{\pi}{4} $. Novamente, usaremos a fórmula do comprimento de arco para funções.

Passo 12

Primeiro, encontramos a derivada da função. Seja $ y = \ln(\cos(x)) $, então:
y = ln(cos(x))

Passo 13

A fórmula do comprimento de arco é:
L = integral0^pi4 raiz1 + ( -tan(x) )^2 , dx = integral0^pi4 raiz1 + tan^2(x) , dx
Sabemos que $ 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) $, então:
1 + tan^2(x) = sec^2(x)

Passo 14

A integral de $ \sec(x) $ é $ \ln|\sec(x) + \tan(x)| $. Calculando:
sec(x)

Passo 15

Avaliação nos limites:
Para $ x = \frac{\pi}{4} $:
x = pi4
sec(pi4) = raiz2
Então:
tan(pi4) = 1
Para $ x = 0 $:
ln(raiz2 + 1)
x = 0
Então:
sec(0) = 1
Portanto:
tan(0) = 0

Passo 16

Finalmente, vamos encontrar o comprimento do arco da função $ y = \sqrt{4 - x^{2}} $ no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 2 $. Essa função representa a parte superior de um círculo de raio 2.

Passo 17

Primeiro, encontramos a derivada da função. Seja $ y = \sqrt{4 - x^{2}} $, então:
y = raiz4 - x^2

Passo 18

A fórmula do comprimento de arco é:
L = integral0^2 raiz1 + ( -xraiz4 - x^2 )^2 , dx = integral0^2 raiz1 + x^24 - x^2 , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
1 + x^24 - x^2 = 4 - x^2 + x^24 - x^2 = 44 - x^2
Então:
L = integral0^2 raiz44 - x^2 , dx = integral0^2 2raiz4 - x^2 , dx

Passo 19

A integral de $ \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} $ é $ \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) $. Então:
1raiz4 - x^2

Passo 20

Avaliação nos limites:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = 0 $:
arcsin(22) = arcsin(1) = pi2
Portanto:
x = 0

Resposta

O comprimento do arco da função $ y = \sqrt{4 - x^{2}} $ no intervalo y = raiz4 - x^2 é $ \pi $ unidades de comprimento.

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