Encontre o comprimento de arco do gráfico da equação dada entre os pontos P e Q ou no intervalo especificado.
a) ;
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o comprimento do arco do gráfico da equação dada entre os pontos P e Q ou no intervalo especificado. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o conceito de comprimento de arco de uma função. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco, que envolve derivadas.
Parte a) $ y = -2x + 3 \quad P:(-1,5), Q:(2,-1) $
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o comprimento de arco. Imagine que você tem uma curva no gráfico de uma função e quer saber a distância ao longo dessa curva entre dois pontos. Para funções lineares, como essa, o comprimento do arco é simplesmente a distância reta entre os dois pontos.
Passo 3
A fórmula para a distância entre dois pontos $ P(x_1, y_1) $ e $ Q(x_2, y_2) $ no plano é:
Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula aos pontos dados:
Calculando as diferenças:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula:
Podemos simplificar:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o comprimento do arco da função hiperbólica $ \cosh(x) $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = \ln(2) $. Aqui, usamos novamente a fórmula do comprimento de arco, mas dessa vez para uma função não linear.
Passo 7
A fórmula do comprimento de arco para uma função $ y = f(x) $ no intervalo de $ a $ a $ b $ é:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ y = \cosh(x) $.
Passo 8
A derivada de $ \cosh(x) $ é $ \sinh(x) $. Então, $ \frac{dy}{dx} = \sinh(x) $.
Passo 9
Substituindo na fórmula:
Sabemos que $ 1 + \sinh^2(x) = \cosh^2(x) $, então:
Passo 10
A integral de $ \cosh(x) $ é $ \sinh(x) $. Calculando:
Sabemos que $ \sinh(0) = 0 $, então:
sinh(x)
Usando a identidade $ \sinh(\ln(a)) = \frac{a^2 - 1}{2a} $, com $ a = 2 $:
L = sinh(x) |0^ln(2) = sinh(ln(2)) - sinh(0)
Passo 11
Vamos calcular o comprimento do arco da função $ y = \ln(\cos(x)) $ no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = \frac{\pi}{4} $. Novamente, usaremos a fórmula do comprimento de arco para funções.
Passo 12
Primeiro, encontramos a derivada da função. Seja $ y = \ln(\cos(x)) $, então:
A integral de $ \sec(x) $ é $ \ln|\sec(x) + \tan(x)| $. Calculando:
sec(x)
Passo 15
Avaliação nos limites:
Para $ x = \frac{\pi}{4} $:
x = pi4
sec(pi4) = raiz2
Então:
tan(pi4) = 1
Para $ x = 0 $:
ln(raiz2 + 1)
x = 0
Então:
sec(0) = 1
Portanto:
tan(0) = 0
Passo 16
Finalmente, vamos encontrar o comprimento do arco da função $ y = \sqrt{4 - x^{2}} $ no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 2 $. Essa função representa a parte superior de um círculo de raio 2.
Passo 17
Primeiro, encontramos a derivada da função. Seja $ y = \sqrt{4 - x^{2}} $, então: