Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume da região gerada pela rotação em torno do eixo
da região delimitada pelas curvas abaixo:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Neste exercício vamos usar o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido obtido pela rotação de uma região em torno do eixo x. Usando fatias horizontais de espessura
, cada casca cilíndrica tem raio
, altura igual à diferença entre as abscissas direita e esquerda da região e espessura
. A fórmula geral é
Passo 2
Para a parte (a), a região é limitada por
(lado direito),
(lado esquerdo) e
varia de 1 até 2. Assim a altura da casca é
e o raio é
. Montando o integral:
Passo 3
Para calcular
, desenvolvemos a integral:
Passo 4
Na parte (b), a região é delimitada por
(direita),
(esquerda) e pelo segmento
. As interseções mostram que
varia de 0 até 1. A altura da casca é
e o raio é
. O integral fica:
Passo 5
Para calcular
, fazemos:
Resposta
Para (a)
e para (b)
.