Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume da região gerada pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas abaixo:
a) x=1+y^2, x=0, y=1, y=2
b) x=raizy x=0, y=1

Passo 1

Neste exercício vamos usar o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido obtido pela rotação de uma região em torno do eixo x. Usando fatias horizontais de espessura dy, cada casca cilíndrica tem raio y, altura igual à diferença entre as abscissas direita e esquerda da região e espessura dy. A fórmula geral é
V = 2pi integrala^b (raio),(a

Passo 2

Para a parte (a), a região é limitada por x=1+y^2 (lado direito), x=0 (lado esquerdo) e y varia de 1 até 2. Assim a altura da casca é (1+y^2)-0 = 1+y^2 e o raio é y. Montando o integral:
Va = 2pi integraly=1^2 y,(1+y^2),dy

Passo 3

Para calcular Va, desenvolvemos a integral:
Va = 2pi integral1^2 (y + y^3),dy = 2pil[y^22 + y^44r]1^2 = 2pil[(2 +4) - (tfrac12 +tfrac14)r] = 2pi(6 -0.75) = 21pi2

Passo 4

Na parte (b), a região é delimitada por x=raizy (direita), x=0 (esquerda) e pelo segmento y=1. As interseções mostram que y varia de 0 até 1. A altura da casca é raizy - 0 = raizy e o raio é y. O integral fica:
Vb = 2pi integraly=0^1 yraizy,dy = 2pi integral0^1 y^3/2,dy

Passo 5

Para calcular Vb, fazemos:
Vb = 2pi integral0^1 y^3/2,dy = 2pil[y^5/25/2r]0^1 = 2pi cdot 25 = 4pi5

Resposta

Para (a) V=tfrac21pi2 e para (b) V=tfrac4pi5.

Exercícios relacionados