Encontre o comprimento do arco da parábola y=x^2 no intervalo [0,2].

Passo 1

Enunciado: Encontrar o comprimento do arco da parábola y=x^2 no intervalo [0,2]. O conteúdo necessário é o comprimento de arco de curvas planas, que usa a fórmula L=integrala^braiz1+(y')^2,dx. Vamos calcular a derivada, montar a integral e avaliá-la.

Passo 2

Derivada: Calculamos y'=ddx(x^2)=2x. Assim a expressão dentro da raiz fica 1+(y')^2=1+4x^2.

Passo 3

Montagem da integral: Aplicando a fórmula de comprimento de arco, obtemos
L=integral0^2raiz1+4x^2,dx

Passo 4

Substituição e antiderivada: Fazemos u=2x, logo du=2,dx e dx=du/2. Quando x=0, u=0; quando x=2, u=4. Então
L=tfrac12integral0^4raiz1+u^2,du
Sabendo que
integralraiz1+u^2,du=u2raiz1+u^2+12lnl(u+raiz1+u^2r)+C,
vemos que o antiderivado de L é
F(u)=u4raiz1+u^2+14lnl(u+raiz1+u^2r)

Passo 5

Avaliação nos limites: Avaliando de u=0 a u=4, temos
L=[u4raiz1+u^2+14lnl(u+raiz1+u^2r)]0^4 =raiz17+14lnl(4+raiz17r)

Resposta

raiz17+tfrac14lnl(4+raiz17r)

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