Sabendo que o plano 2 x+y+3 z-6=0 é paralelo ao plano tangente ao gráfico de z=f(x, y), no ponto P(1,1,1), calcule os valores de partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1).

Passo 1

A questão pede pra gente achar as derivadas parciais fx(1,1) e fy(1,1), sabendo que o plano dado
2x + y + 3z - 6 = 0
é paralelo ao plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto P(1,1,1). Vamos usar conceitos de plano tangente e vetores normais.

Passo 2

O plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (x0,y0,z0)=(1,1,1) tem equação
z - z0 = fx(x0,y0)igl(x - x0r) + fy(x0,y0)igl(y - y0r) 
Substituindo z0=1, x0=1, y0=1, fica:
z - 1 = fx(1,1)(x - 1) + fy(1,1)(y - 1)
Reescrevendo na forma geral Ax + By + Cz + D = 0, obtemos
fx(1,1),x + fy(1,1),y - z + l(1 - fx(1,1) - fy(1,1)r) = 0
Dessa forma, o vetor normal a esse plano tangente é
N = l(fx(1,1),;fy(1,1),;-1r)

Passo 3

Para que dois planos sejam paralelos, seus vetores normais devem ser paralelos. O plano dado
2x + y + 3z - 6 = 0
tem vetor normal
n = (2,;1,;3)
Então existe um escalar k tal que
(fx(1,1),;fy(1,1),;-1) = k,(2,;1,;3)

Passo 4

Agora basta igualar componente a componente e resolver para fx(1,1), fy(1,1) e k:
Da 3ª componente: -1 = 3k leva a k = -tfrac13.
Da 1ª componente: fx(1,1) = 2k = 2,(-tfrac13) = -tfrac23
Da 2ª componente: fy(1,1) = 1,k = -tfrac13

Passo 5

Com isso encontramos os valores desejados.

Resposta

fx(1,1) = -tfrac23 e fy(1,1) = -tfrac13.

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