Verifique se se cumprem as condições de Cauchy-Riemann para as seguintes funções:
f(z)=e^-x(cos y-i sen y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função $ f(z) = e^{-x}(\cos y - i \sin y) $ satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. Essas condições são importantes em cálculo complexo porque dizem se a função é diferenciável em um ponto, ou seja, se ela é “boa” em termos de análise complexa. Para resolver isso, vamos precisar identificar as partes real e imaginária da função e, em seguida, calcular as derivadas parciais dessas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função $ f(z) $ na forma padrão $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $, onde $ u $ é a parte real e $ v $ é a parte imaginária.
Então, temos:
f(z)
Isso significa que:
f(z) = u(x, y) + i v(x, y)
u

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ x $ e $ y $.
Vamos calcular $ u_x $ (a derivada de $ u $ em relação a $ x $):
u
Em seguida, $ u_y $ (a derivada de $ u $ em relação a $ y $):
v
Agora, $ v_x $ (a derivada de $ v $ em relação a $ x $):
x
E finalmente, $ v_y $ (a derivada de $ v $ em relação a $ y $):
y

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos verificar as condições de Cauchy-Riemann:
  1. $ u_x = v_y $:
ux = vy
  1. $ u_y = -v_x $:
- e^-x cos y = - e^-x cos y (Verdadeiro)
Ambas as condições são satisfeitas.

Resposta

A função $ f(z) = e^{-x}(\cos y - i \sin y) $ satisfaz as condições de Cauchy-Riemann.

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