Encontre o comprimento de arco das seguintes curvas no intervalo de tempo indicado:

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica alpha(t) = (e^t cos t, e^t sin t) no intervalo tin[0,2]. Vamos usar o conteúdo de cálculo de comprimento de arco de curvas paramétricas, que requer a fórmula L = integrala^b raiz(dot x(t))^2 + (dot y(t))^2,dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas das componentes: dot x(t) = e^tcos t - e^tsin t = e^t(cos t - sin t) e dot y(t) = e^tsin t + e^tcos t = e^t(sin t + cos t).

Passo 3

Montamos a soma dos quadrados dentro da raiz e simplificamos: (dot x(t))^2 + (dot y(t))^2 = e^2t[(cos t - sin t)^2 + (sin t + cos t)^2] = 2e^2t. Logo a função integranda é raiz2e^2t = raiz2,e^t.

Passo 4

Integramos de 0 a 2:
L = integral0^2 raiz2,e^t,dt = raiz2l[e^tr]0^2 = raiz2(e^2 - 1)

Resposta

raiz2(e^2 - 1)

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