Encontre o comprimento da astroide
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma astroide descrita pelas equações paramétricas:
Nosso objetivo é encontrar o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o comprimento de uma curva paramétrica.
Passo 2
Para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica definida por
e
no intervalo
, usamos a fórmula:
Nesse caso,
e
, com
indo de
a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas na fórmula do comprimento:
Passo 5
Simplificando dentro da raiz:
Somando os dois termos:
Sabemos que
, então:
Passo 6
A expressão do comprimento simplifica para:
Passo 7
Fatorando o 3 para fora da integral:
Agora, precisamos resolver a integral
.
Passo 8
Para resolver
, podemos usar a substituição:
Então, a integral fica:
Passo 9
Voltando aos limites de integração:
Sabemos que
e
. Então:
Resposta
O comprimento da astroide no intervalo
é
unidades.