(2,0) Encontre o comprimento da astroide
l x=cos ^3(t) y=sen^3(t) 0<t<pi2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma astroide descrita pelas equações paramétricas:
x = cos^3(t) y = sin^3(t) 0 < t < pi2
Nosso objetivo é encontrar o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o comprimento de uma curva paramétrica.

Passo 2

Para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica definida por x = f(t) e y = g(t) no intervalo a <= t <= b , usamos a fórmula:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Nesse caso, f(t) = cos^3(t) e g(t) = sin^3(t) , com t indo de 0 a pi2 .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t :
dxdt = ddt cos^3(t) = 3cos^2(t)(- sin(t)) = -3cos^2(t)sin(t)
dydt = ddt sin^3(t) = 3sin^2(t)cos(t)

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas na fórmula do comprimento:
L = integral0^pi2 raiz (-3cos^2(t)sin(t))^2 + (3sin^2(t)cos(t))^2 , dt

Passo 5

Simplificando dentro da raiz:
(-3cos^2(t)sin(t))^2 = 9cos^4(t)sin^2(t)
(3sin^2(t)cos(t))^2 = 9sin^4(t)cos^2(t)
Somando os dois termos:
9cos^4(t)sin^2(t) + 9sin^4(t)cos^2(t) = 9cos^2(t)sin^2(t)(cos^2(t) + sin^2(t))
Sabemos que cos^2(t) + sin^2(t) = 1 , então:
9cos^2(t)sin^2(t)

Passo 6

A expressão do comprimento simplifica para:
L = integral0^pi2 raiz9cos^2(t)sin^2(t) , dt = integral0^pi2 3cos(t)sin(t) , dt

Passo 7

Fatorando o 3 para fora da integral:
L = 3 integral0^pi2 cos(t)sin(t) , dt
Agora, precisamos resolver a integral integral cos(t)sin(t) , dt .

Passo 8

Para resolver integral cos(t)sin(t) , dt , podemos usar a substituição:
u = sin(t) implies du = cos(t) , dt
Então, a integral fica:
integral u , du = u^22 + C = sin^2(t)2 + C

Passo 9

Voltando aos limites de integração:
L = 3 [ sin^2(t)2 ]0^pi2 = 3 ( sin^2(pi2)2 - sin^2(0)2 )
Sabemos que sin(pi2) = 1 e sin(0) = 0 . Então:
L = 3 ( 12 - 0 ) = 32

Resposta

O comprimento da astroide no intervalo 0 < t < pi2 é 32 unidades.

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