Questão 1 - Lei do Resfriamento de Newton
Um médico legista chegou para periciar o corpo de uma vítima de assassinato às 23 horas, e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. Após alguns cálculos, ele afirmou que a hora da morte foi às 22:00 horas. Se a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36 graus, a temperatura constante do quarto onde ocorreu o óbito, era de aproximadamente:

Passo 1

Tá rolando aqui a Lei do Resfriamento de Newton: o corpo esfria segundo a fórmula T(t)=Ts+(T0-Ts)e^-kt. No enunciado, temos que o médico mediu 34,8 °C às 23 h e 34,1 °C às 24 h, assumiu morte às 22 h (quando a temperatura era 36 °C) e quer saber a temperatura constante do quarto Ts. Vamos usar essa lei pra achar Ts.

Passo 2

A gente coloca tempo t=0 às 22 h (hora da morte), então às 23 h é t=1 e às 24 h é t=2. Aí as temperaturas viram duas equações:

Passo 3

34,8 = Ts + (36 - Ts)e^-k

Passo 4

34,1 = Ts + (36 - Ts)e^-2k

Passo 5

Como não queremos k, vamos eliminar o termo exponencial dividindo a segunda equação pela primeira. Primeiro escrevemos:

Passo 6

34,1 - Ts34,8 - Ts = (36 - Ts)e^-2k(36 - Ts)e^-k = e^-k

Passo 7

Mas pela primeira equação também temos:

Passo 8

e^-k = 34,8 - Ts36 - Ts

Passo 9

Igualando as duas expressões de e^-k dá:

Passo 10

(34,8 - Ts)^2 = (36 - Ts)(34,1 - Ts)

Passo 11

Agora a gente expande e resolve para Ts:

Passo 12

(34,8 - Ts)^2 = Ts^2 - 69,6,Ts + 1211,04

Passo 13

(36 - Ts)(34,1 - Ts) = Ts^2 - 70,1,Ts + 1227,6

Passo 14

Igualando as duas expressões:

Passo 15

-69,6,Ts + 1211,04 = -70,1,Ts + 1227,6

Passo 16

Daí vem

Passo 17

0,5,Ts = 16,56 Rightarrow Ts = 33,12

Resposta

A temperatura do quarto era aproximadamente 33,12 °C.

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