Encontre os pontos onde as tangentes da equação paramétrica dada são horizontais ou verticais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos onde as tangentes das equações paramétricas dadas são horizontais ou verticais. A matéria envolvida aqui é o estudo de curvas paramétricas e como determinar as inclinações das tangentes a essas curvas.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de
em relação a
usando as equações paramétricas e identificar quando essa derivada é zero (tangente horizontal) ou indefinida (tangente vertical).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em equações paramétricas, temos [x) e
definidos em termos de um parâmetro, que nesse caso é
. As equações são:
Para encontrar a inclinação da tangente, precisamos calcular (\frac{dy}{dx}]. A fórmula para isso em parametrização é:
Então, vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula de
:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar onde a tangente é horizontal, precisamos que
. Isso acontece quando o numerador é zero:
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro. Então:
Passo 6
Para encontrar onde a tangente é vertical, precisamos que
seja indefinida, ou seja, o denominador seja zero:
Isso ocorre quando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes para cada caso.
Tangente Horizontal (
):
Substituímos
nas equações de
e
:
Tangente Vertical (
):
Substituímos
nas equações de
e
:
Resposta
Os pontos onde as tangentes são horizontais são dados por:
E os pontos onde as tangentes são verticais são:
Onde
é qualquer número inteiro.