(1,5) Encontre os pontos onde as tangentes da equação paramétrica dada são horizontais ou verticais.
c x=cos theta y=cos (3 theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos onde as tangentes das equações paramétricas dadas são horizontais ou verticais. A matéria envolvida aqui é o estudo de curvas paramétricas e como determinar as inclinações das tangentes a essas curvas.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de y em relação a x usando as equações paramétricas e identificar quando essa derivada é zero (tangente horizontal) ou indefinida (tangente vertical).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em equações paramétricas, temos [x) e definidos em termos de um parâmetro, que nesse caso é . As equações são:
Para encontrar a inclinação da tangente, precisamos calcular (\frac{dy}{dx}]. A fórmula para isso em parametrização é:
Então, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando dxdtheta :
dxdtheta = ddtheta (cos theta) = -sin theta
Agora, calculando dydtheta :
dydtheta = ddtheta (cos 3theta) = -3sin 3theta

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula de dydx :
dydx = -3sin 3theta-sin theta = 3sin 3thetasin theta
Simplificando:
dydx = 3 cdot sin 3thetasin theta

Passo 5

Para encontrar onde a tangente é horizontal, precisamos que dydx = 0 . Isso acontece quando o numerador é zero:
3sin 3theta = 0 implies sin 3theta = 0
Sabemos que sin alpha = 0 quando alpha = npi , onde n é um inteiro. Então:
3theta = npi implies theta = npi3

Passo 6

Para encontrar onde a tangente é vertical, precisamos que dydx seja indefinida, ou seja, o denominador seja zero:
sin theta = 0
Isso ocorre quando:
theta = npi

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes para cada caso.
Tangente Horizontal ( theta = npi3 ):
Substituímos theta nas equações de x e y :
x = cos ( npi3 )
y = cos ( 3 cdot npi3 ) = cos (npi) = (-1)^n
Tangente Vertical ( theta = npi ):
Substituímos theta nas equações de x e y :
x = cos (npi) = (-1)^n
y = cos (3npi) = cos (npi) = (-1)^n

Resposta

Os pontos onde as tangentes são horizontais são dados por:
( cos ( npi3 ), (-1)^n ), n in Z
E os pontos onde as tangentes são verticais são:
( (-1)^n, (-1)^n ), n in Z
Onde n é qualquer número inteiro.

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