Escola Politécnica da Universidade de Pernambuco
Lista de Exercícios
integral 2 x+1(3 x+2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x+1(3x+2)^2,dx
Isso é uma integral de uma função racional onde o denominador é (3x+2)^2. Uma forma eficiente é usar a substituição u=3x+2, pois du aparece proporcional a dx.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 3x+2 Longrightarrow du = 3,dx Longrightarrow dx = du3
Também expressamos x em função de u:
x = u-23

Passo 3

Substituindo na integral, o numerador fica
2x+1 = 2!gl(u-23gr) + 1 = 2u-43 + 33 = 2u-13
E o denominador é u^2. Logo
integral 2x+1(3x+2)^2,dx = integral 2u-13u^2cdotdu3 = integral 2u-19,u^2,du = integral l(29u - 19u^2r),du

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 29u,du = 29lnlvert urvert, integral l(-19u^-2r),du = -19cdotl(tfracu^-1-1r) = 19u
Somando, obtemos
29lnlvert urvert + 19u + C

Passo 5

Voltando à variável x com u=3x+2, a resposta final é
boxed 29lnllvert 3x+2rrvert + 19,(3x+2) + C

Resposta

integral 2x+1(3x+2)^2,dx = 29lnllvert 3x+2rrvert + 19,(3x+2) + C

Exercícios relacionados