Mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata quando multiplicada pelo fator integrante dado. Depois resolva-a. 6 x y d x+(4 y+9 x^2) d y=0, mu(x, y)=y^2.

Passo 1

Temos a equação diferencial
6xy,dx + (4y + 9x^2),dy = 0
O conteúdo é equação exata e fator integrante. Vamos mostrar que ela não é exata, aplicar o fator integrante mu(x,y)=y^2 e resolver.

Passo 2

Identificamos
$$M(x,y)=6xy,
\quad N(x,y)=4y+9x^2. M(x,y)=6xy, N(x,y)=4y+9x^2\frac{\partial M}{\partial y}=6x,
\quad \frac{\partial N}{\partial x}=18x.$$
Como partial Mpartial y=6x, partial Npartial x=18x, a equação não é exata.

Passo 3

Multiplicamos a equação por mu(x,y)=y^2. Obtemos
6x y^3,dx + l(4y^3 + 9x^2y^2r),dy = 0
Agora
$$M^*(x,y)=6x y^3,
\quad N*(x,y)=4y3+9x2y2. M^*(x,y)=6x y^3, N^*(x,y)=4y^3+9x^2y^2ã\frac{\partial M^*}{\partial y}=18x y^2,
\quad \frac{\partial N^*}{\partial x}=18x y^2,$$
são iguais, logo a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
$$\frac{\partial \psi}{\partial x}=6x y^3.
partial psipartial x=6x y^3 çã
\psi(x,y)=3x2y3 + h(y).
$$

Passo 5

Para achar h(y), calculamos
$$\frac{\partial \psi}{\partial y}=9x2y2 + h’(y)
partial psipartial y=9x^2y^2 + h'(y) N*(x,y)=4y3+9x2y2.
N^*(x,y)=4y^3+9x^2y^2 íh’(y)=4y^3\quad\implies\quad h(y)=y^4.
h'(y)=4y^3implies h(y)=y^4 \psi(x,y)=3x2y3 + y^4.
$$

Resposta

3x2y3 + y^4 = C

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