Mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata quando multiplicada pelo fator integrante dado. Depois resolva-a.
.
Passo 1
Temos a equação diferencial
O conteúdo é equação exata e fator integrante. Vamos mostrar que ela não é exata, aplicar o fator integrante
e resolver.
Passo 2
Identificamos
$$M(x,y)=6xy,
\quad N(x,y)=4y+9x^2.
\frac{\partial M}{\partial y}=6x,
\quad \frac{\partial N}{\partial x}=18x.$$
Como , a equação não é exata.
Como
Passo 3
Multiplicamos a equação por
. Obtemos
Agora
$$M^*(x,y)=6x y^3,
\quad N*(x,y)=4y3+9x2y2.
\frac{\partial M^*}{\partial y}=18x y^2,
\quad \frac{\partial N^*}{\partial x}=18x y^2,$$
são iguais, logo a equação é exata.
são iguais, logo a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
$$\frac{\partial \psi}{\partial x}=6x y^3.
\psi(x,y)=3x2y3 + h(y).
$$
Passo 5
Para achar
, calculamos
$$\frac{\partial \psi}{\partial y}=9x2y2 + h’(y)
$$
Resposta
3x2y3 + y^4 = C