Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
alpha(t)=(sen t, 1,1-cos t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o comprimento do arco da curva alpha(t)=(sin t,1,1-cos t) de t=0 até t=2pi. O conteúdo é comprimento de curva em R^3 e vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco:
L=integrala^b|alpha'(t)|,dt

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada vetor alpha'(t). Como alpha(t)=(sin t,1,1-cos t), temos:
alpha'(t)=l(cos t,,0,,sin tr)

Passo 3

Em seguida, encontramos a norma de alpha'(t). Usando que cos^2 t+sin^2 t=1, temos:
|alpha'(t)|=raiz(cos t)^2+0^2+(sin t)^2=raiz1=1

Passo 4

Agora basta substituir na integral do comprimento de arco. Como |alpha'(t)|=1 é constante, temos:
L=integral0^2pi1,dt=2pi

Resposta

2pi

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