Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
sigma(t)=(a(cos t+t sin t), a(sin t-t cos t)), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o comprimento do caminho percorrido por uma partícula ao longo de uma curva definida por equações paramétricas. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de comprimentos de curvas usando integrais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a derivada das funções que definem a curva e aplicar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem a posição da partícula em termos do parâmetro sigma(t) = ( a(cos t + t sin t), a(sin t - t cos t) ) . As equações paramétricas são:
Aqui, e .

Passo 3

Para encontrar o comprimento do caminho, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
L = integralt0^tf raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt
Onde e são os limites do intervalo de tempo, neste caso, de a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de dxdt = a(-sin t + sin t + t cos t) = a(t cos t) e dydt = a(cos t - cos t + t sin t) = a(t sin t) em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^2pi raiz(a t cos t)^2 + (a t sin t)^2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
L = integral0^2pi raiza^2 t^2 cos^2 t + a^2 t^2 sin^2 t , dt
L = integral0^2pi raiza^2 t^2 (cos^2 t + sin^2 t) , dt
Sabemos que L = integral0^2pi raiza^2 t^2 , dt = integral0^2pi a t , dt , então:

Passo 6

Agora, calculamos a integral:
L = a integral0^2pi t , dt = a [ t^22 ]0^2pi = a ( (2pi)^22 - 0 ) = a ( 4pi^22 ) = a cdot 2pi^2

Resposta

O comprimento do caminho percorrido pela partícula é .

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