Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o comprimento do caminho percorrido por uma partícula ao longo de uma curva definida por equações paramétricas. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de comprimentos de curvas usando integrais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a derivada das funções que definem a curva e aplicar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem a posição da partícula em termos do parâmetro
. As equações paramétricas são:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para encontrar o comprimento do caminho, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Onde
e
são os limites do intervalo de tempo, neste caso, de
a
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, calculamos a integral:
Resposta
O comprimento do caminho percorrido pela partícula é
.