Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
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Passo 1
A gente quer achar o comprimento do arco da curva α(t) = (t, ln(sec t), ln(sec t + tan t)) para t ∈ [0, π/4]. O conteúdo aqui é comprimento de curva paramétrica em R³, e vamos precisar da fórmula
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas de cada componente usando regras de derivada e a regra da cadeia. Para x(t)=t temos x’(t)=1. Para y(t)=ln(sec t) usamos
e assim
Passo 3
Agora montamos o vetor velocidade e calculamos sua norma:
Usamos a identidade 1+tan²t=sec²t para simplificar:
(visto que em [0,π/4] temos sec t ≥ 0).
Passo 4
O comprimento então é
Passo 5
Basta usar a primitiva de sec t,
e avaliar de 0 a π/4: