Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
© alpha(t)=(t, ln (sec t), ln (sec t+tg t)), 0 <= t <= pi / 4.

Passo 1

A gente quer achar o comprimento do arco da curva α(t) = (t, ln(sec t), ln(sec t + tan t)) para t ∈ [0, π/4]. O conteúdo aqui é comprimento de curva paramétrica em R³, e vamos precisar da fórmula
L = integrala^b |alpha'(t)|,dt

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de cada componente usando regras de derivada e a regra da cadeia. Para x(t)=t temos x’(t)=1. Para y(t)=ln(sec t) usamos
ddtl(ln(sec t)r)=sec ttan tsec t=tan t Para z(t)=ln(sec t + tan t) aplicamos a cadeia:
ddtl(sec t+tan tr)=sec ttan t+sec^2 t=sec t(tan t+sec t),
e assim
z'(t)=sec t(tan t+sec t)sec t+tan t=sec t

Passo 3

Agora montamos o vetor velocidade e calculamos sua norma:
|alpha'(t)|=raiz(1)^2+(tan t)^2+(sec t)^2
Usamos a identidade 1+tan²t=sec²t para simplificar:
|alpha'(t)|=raizsec^2 t+sec^2 t=raiz2,sec^2 t=raiz2,sec t
(visto que em [0,π/4] temos sec t ≥ 0).

Passo 4

O comprimento então é
L=integral0^pi/4|alpha'(t)|,dt=integral0^pi/4raiz2,sec t,dt=raiz2integral0^pi/4sec t,dt

Passo 5

Basta usar a primitiva de sec t,
integralsec t,dt=lnl|sec t+tan tr|+C,
e avaliar de 0 a π/4:
L=raiz2l[ln(sec t+tan t)r]0^pi/4=raiz2l(ln(raiz2+1)-ln1r)=raiz2ln(raiz2+1)

Resposta

raiz2ln(raiz2+1)

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