Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo específicado em cada um dos casos abaixo:
sigma(t)=(e^t cos (t), e^t sin (t)), 0 <= t <= 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
sigma(t)=(e^tcos t,;e^tsin t)
para 0<= t<= 2 e pede o comprimento de arco. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada:
L = integrala^b |sigma'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada sigma'(t). Derivando componente a componente, temos
sigma'(t) = l(e^tcos t - e^tsin t,;e^tsin t + e^tcos tr) = e^tl(cos t - sin t,;sin t + cos tr)

Passo 3

Agora vamos achar a norma |sigma'(t)|.
|sigma'(t)| = raizl(e^t(cos t-sin t)r)^2+l(e^t(sin t+cos t)r)^2 = e^traiz(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2
Como
(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2 =cos^2t-2sin tcos t+sin^2t +sin^2t+2sin tcos t+cos^2t =2,
segue que
|sigma'(t)|=e^traiz2

Passo 4

Substituímos no integral de comprimento:
L =integral0^2e^traiz2,dt =raiz2integral0^2e^t,dt =raiz2l[e^tr]0^2 =raiz2l(e^2-1r)

Resposta

raiz2,(e^2-1)

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