Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais
Passo 1
Estamos diante de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
Conteúdo envolvido: solução da equação homogênea associada e busca de uma solução particular por método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
escrevemos a equação característica
Essa equação tem raiz dupla
. Logo, a solução geral homogênea é
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Para achar uma solução particular
do problema não-homogêneo usamos o fato de que o operador
satisfaz, para qualquer polinômio
,
Como o lado direito é
, basta procurar
na forma
e impor
Daí vem a equação para
:
Passo 4
Integramos duas vezes para encontrar um
particular (desprezando as constantes de integração, pois essas geram termos homogêneos já em
):
Escolhendo
para obter apenas uma parte não-redundante, ficamos com
logo
Passo 5
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular: