Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais
y^prime prime-2 y^prime+y=x e^x

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
y'' - 2y' + y = x e^x
Conteúdo envolvido: solução da equação homogênea associada e busca de uma solução particular por método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' - 2y' + y = 0,
escrevemos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0
Essa equação tem raiz dupla r=1. Logo, a solução geral homogênea é
yh = l(C1 + C2 xr)e^x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para achar uma solução particular yp do problema não-homogêneo usamos o fato de que o operador
L = D^2 -2D +1
satisfaz, para qualquer polinômio p(x),
Ll(e^x p(x)r) ;=; e^x,p''(x)
Como o lado direito é x e^x, basta procurar yp na forma
yp = e^x p(x)
e impor
L(yp) = e^x p''(x) = x e^x
Daí vem a equação para p:
p''(x) = x

Passo 4

Integramos duas vezes para encontrar um p(x) particular (desprezando as constantes de integração, pois essas geram termos homogêneos já em yh):
p''(x)=x Longrightarrow p'(x)=tfracx^22+A Longrightarrow p(x)=tfracx^36+Ax+B
Escolhendo A=B=0 para obter apenas uma parte não-redundante, ficamos com
p(x)=x^36,
logo
yp = x^36,e^x

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh + yp = l(C1 + C2 xr)e^x + x^36e^x

Resposta

boxedy(x) = l(C1 + C2 xr)e^x + x^36e^x, C1,C2inR

Exercícios relacionados