Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo específicado em cada um dos casos abaixo:
sigma(t)=(sin (t), t, 1-cos (t)), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do caminho percorrido pela partícula cuja trajetória é dada pela curva
sigma(t) = (sin(t),,t,,1 - cos(t)),
no intervalo 0 <= t <= 2pi.
Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva parametrizada:
L = integrala^b l|sigma'(t)r|,dt

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada componente a componente de sigma(t). Como
sigma(t) = l(sin(t),,t,,1-cos(t)r),
temos
sigma'(t) = l(cos(t),,1,,sin(t)r)

Passo 3

Em seguida, avaliamos a norma de sigma'(t):
l|sigma'(t)r| = raizcos^2(t) + 1^2 + sin^2(t) = raizl(cos^2(t)+sin^2(t)r) + 1 = raiz1 + 1 = raiz2
Repare que a norma é constante ao longo de todo o intervalo.

Passo 4

Finalmente, substituímos em L = integral0^2pi|sigma'(t)|,dt. Como |sigma'(t)|=raiz2 é constante,
L = integral0^2pi raiz2,dt = raiz2,l[tr]0^2pi = raiz2,(2pi - 0) = 2piraiz2

Resposta

O comprimento do caminho é 2piraiz2.

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