Uma curva tem equação
. Encontre o comprimento da curva do ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente por
e pede o comprimento de arco entre os pontos
e
.
Conteúdo: comprimento de arco de curva expressa como função . Vamos usar a fórmula
Conteúdo: comprimento de arco de curva expressa como função
Passo 2
Da equação
isolamos
Logo podemos ver
como função de
:
Passo 3
Calculamos a derivada
Assim o elemento de comprimento é
Passo 4
Como o trecho de
a
é simétrico em relação a
, escrevemos
Passo 5
Para simplificar, façamos a troca de variável
Então dentro da raiz:
e
Passo 6
Substituindo em
, obtemos
Chamando esse integral de
, temos
Passo 7
Para calcular
, use a substituição
Logo
Como
4^3/2=8 , fica
Passo 8
Voltando ao comprimento total,