Uma curva tem equação y^2=x^3. Encontre o comprimento da curva do ponto (1,-1) ao ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
y^2 = x^3
e pede o comprimento de arco entre os pontos (1,-1) e (1,1).
Conteúdo: comprimento de arco de curva expressa como função x=f(y). Vamos usar a fórmula
L = integraly1^y2 raiz1 + l(f'(y)r)^2;dy

Passo 2

Da equação y^2=x^3 isolamos
x = y^2/3
Logo podemos ver x como função de y:
f(y)=y^2/3

Passo 3

Calculamos a derivada
f'(y) = ddyl(y^2/3r) = 23,y^-1/3
Assim o elemento de comprimento é
ds = raiz1 + l(f'(y)r)^2;dy = raiz1 + 49,y^-2/3;dy

Passo 4

Como o trecho de y=-1 a y=1 é simétrico em relação a y=0, escrevemos
L = integral-1^1 raiz1 + 49,y^-2/3;dy = 2 integral0^1 raiz1 + 49,y^-2/3;dy

Passo 5

Para simplificar, façamos a troca de variável
t = y^1/3, y = t^3, dy = 3,t^2,dt
Então dentro da raiz:
1 + 49,y^-2/3 = 1 + 49,1t^2 = 9t^2+49t^2
e
raiz1 + 49,y^-2/3 = raiz9t^2+43t

Passo 6

Substituindo em integral0^1raiz1+49y^-2/3,dy, obtemos
integral0^1 raiz9t^2+43t,l(3t^2,dtr) = integral0^1 t,raiz9t^2+4;dt
Chamando esse integral de I, temos
I = integral0^1 t,raiz9t^2+4;dt

Passo 7

Para calcular I, use a substituição
u = 9t^2 + 4, du = 18,t,dt, t,dt = du18
Logo
I = integralu(0)^u(1) raizu;du18 = 118integral4^13 u^1/2,du = 118cdot 23,u^3/2|4^13 = 127l(13^3/2 - 4^3/2r)
Como 4^3/2=8, fica
I = 127l(13^3/2-8r)

Passo 8

Voltando ao comprimento total,
L = 2,I = 227l(13^3/2-8r) = 227l(13raiz13-8r)

Resposta

L = 227l(13raiz13 - 8r)

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