Encontre o comprimento da curva C parametrizadas pelas equações abaixo:
f(t)=(t, \ln (\operatorname{sec} t), \ln (\operatorname{sec} t+\operatorname{tg} t)) ; t \in[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva C em \mathbb{R}^3 parametrizada por
\mathbf{f}(t)=\bigl(t,\;\ln(\operatorname{sec} t),\;\ln(\operatorname{sec} t+\tan t)\bigr), \qquad t\in[0,2\pi].
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de curva via a fórmula
L=\int_a^b\bigl\lVert \mathbf{f}'(t)\bigr\rVert\,\mathrm{d}t.

Passo 2

Vamos calcular o vetor velocidade \mathbf{f}'(t).
  1. \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[t\bigr]=1.
  2. \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\ln(\operatorname{sec} t)\bigr] =\dfrac{1}{\operatorname{sec} t}\cdot\bigl(\operatorname{sec} t\tan t\bigr)=\tan t.
  3. \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\ln(\operatorname{sec} t+\tan t)\bigr] =\dfrac{1}{\operatorname{sec} t+\tan t}\bigl(\operatorname{sec} t\tan t+\operatorname{sec}^2 t\bigr) =\dfrac{\operatorname{sec} t(\tan t+\operatorname{sec} t)}{\operatorname{sec} t+\tan t} =\operatorname{sec} t.
    Logo,
\mathbf{f}'(t)=\bigl(1,\;\tan t,\;\operatorname{sec} t\bigr).

Passo 3

O módulo da velocidade é
\bigl\lVert \mathbf{f}'(t)\bigr\rVert =\sqrt{1+\tan^2 t+\operatorname{sec}^2 t} =\sqrt{\operatorname{sec}^2 t+\operatorname{sec}^2 t} =\sqrt{2}\,\bigl|\operatorname{sec} t\bigr|.

Passo 4

O comprimento é
L=\int_{0}^{2\pi}\bigl\lVert \mathbf{f}'(t)\bigr\rVert\,\mathrm{d}t =\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl|\operatorname{sec} t\bigr|\,\mathrm{d}t.
Porém \operatorname{sec} t tem singularidades em t=\tfrac{\pi}{2} e t=\tfrac{3\pi}{2}, e já o integral
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\operatorname{sec} t\,\mathrm{d}t =\bigl[\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|\bigr]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} =\ln\bigl|\operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{2})+\tan(\tfrac{\pi}{2})\bigr|-\ln1 =\ln(\infty)=\infty
diverge. Dessa forma todo o integral de 0 a 2\pi não converge.

Resposta

O comprimento de C é infinito.

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