Calcule as integrais:
\int_{0}^{2 \pi} t^{2} \operatorname{sen}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2\pi} t^{2}\,\operatorname{sen}(t)\,dt
O conteúdo principal aqui é integração por partes (duas vezes), já que temos um polinômio t^2 multiplicando uma função trigonométrica \operatorname{sen}(t).

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = t^2,\quad dv = \operatorname{sen}(t)\,dt
Logo
du = 2t\,dt,\quad v = -\cos(t)
e a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du
\int_{0}^{2\pi} t^2\operatorname{sen}(t)\,dt = \Bigl[-t^2\cos(t)\Bigr]_{0}^{2\pi} \;+\;2\int_{0}^{2\pi} t\cos(t)\,dt.

Passo 3

Avaliaremos o termo de fronteira:
\Bigl[-t^2\cos(t)\Bigr]_{0}^{2\pi} = -(2\pi)^2\cos(2\pi) - \bigl[\,0^2\cos(0)\bigr] = -4\pi^2\cdot1 - 0 = -4\pi^2.
Então
\int_{0}^{2\pi} t^2\operatorname{sen}(t)\,dt = -4\pi^2 \;+\;2\int_{0}^{2\pi} t\cos(t)\,dt.

Passo 4

Agora escolhemos para
J = \int_{0}^{2\pi} t\cos(t)\,dt
a segunda integração por partes com
u = t,\quad dv = \cos(t)\,dt
portanto
du = dt,\quad v = \operatorname{sen}(t)
e
J = \Bigl[t\operatorname{sen}(t)\Bigr]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} \operatorname{sen}(t)\,dt.
Como \operatorname{sen}(0)=\operatorname{sen}(2\pi)=0, o primeiro termo some, e
\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}(t)\,dt = \bigl[-\cos(t)\bigr]_{0}^{2\pi} = -1 -(-1)=0.
Logo
J = 0 - 0 = 0.

Passo 5

Substituindo em
\int_{0}^{2\pi} t^2\operatorname{sen}(t)\,dt = -4\pi^2 + 2\,J
e sabendo que J=0, concluímos
\int_{0}^{2\pi} t^2\operatorname{sen}(t)\,dt = -4\pi^2.

Resposta

-4\pi^2

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