Calcule as integrais:
\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}}.
O conteúdo aqui é a técnica de integração de expressões da forma \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}},
usando uma primitiva conhecida ou substituição trigonométrica.

Passo 2

A fórmula padrão para x>a é
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} =\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr)+C.
Essa expressão pode ser obtida, por exemplo, com a substituição trigonométrica x=\operatorname{sec}\theta, que leva a \int\operatorname{sec}\theta\,d\theta e depois retorna a x.

Passo 3

No nosso caso a=1, portanto uma primitiva válida é
F(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos F entre x=1 e x=\sqrt{2}:
F(\sqrt{2})-F(1) =\ln\!\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{2-1}\bigr) -\ln\!\bigl(1+\sqrt{1-1}\bigr) =\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)-\ln(1) =\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).

Resposta

\displaystyle \ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)

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